Тэарэма Астраградскага-Гауса

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэ́ма Астрагра́дскага-Га́уса вызначае паток вектара напружанасці электрычнага поля праз замкнёную паверхню. Гэта адзін з найважнейшых законаў электрастатыкі.

Фармулёўка тэарэмы:

Паток вектара напружанасці электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе плошчы і формы, а вызначаецца сумаю электрычных зарадаў, што знаходзяцца ўнутры яе.
\Phi = \frac Q {\varepsilon_0 \varepsilon}

Доказ: Паток вектара напружанасці пунктавага зарада праз элемент паверхні dS складае

d \Phi = \vec E \vec {dS} = \frac {q dS cos \varphi} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} = \frac {q dS_r} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2}, дзе dS_r праекцыя dS на плоскасць, перпендыкулярную да вектара \vec r, накіраванага ад зарада да паверхні.

Велічыня \frac {dS_r} {r^2} уяўляе сабой цялесны вугал d\Omega, пад якім з пункта знаходжання зарада бачна паверхня dS. Таму, калі зарад знаходзіцца ўнутры паверхні, яго агульны паток праз замкнёную паверхню роўны

\Phi = \oint \frac {q dS_r} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} = \oint \frac {q d\Omega} {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon} = \frac q {4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon} \oint d\Omega = \frac q {\varepsilon_0 \varepsilon}

Калі ж поле ствараецца зарадам, які знаходзіцца па-за паверхняй, то яго паток праз паверхню роўны да нуля, таму што любая прамая, якая праходзіць праз гэты зарад, перасякае паверхню цотную колькасць разоў: адзін раз заходзячы ў яе і іншы раз – выходзячы.

Улічваючы гэта, а таксама прынцып суперпазіцыі электрычных палёў, агульны паток праз замкнёную паверхню можна знайсці як суму патокаў кожнага з зарадаў, што стварае поле. Пры гэтым можна ўлічваць толькі тыя зарады, што знаходзяцца ўнутры. Адсюль атрымаем:

\Phi = \Sigma \Phi_i = \frac {\Sigma q_i} {\varepsilon_0 \varepsilon}

Тэарэма Астраградскага-Гауса з'яўляецца вынікам закона Кулона. Яна ўжывальная і да іншых палёў, напружанасць якіх вызначаецца законам, падобным да кулонаўскага. Так, яе можна ўжыць у дачыненні да гравітацыйнага поля, прычым ролю напружанасці будзе выконваць паскарэнне вольнага падзення, а замест зарада будзе фігураваць маса («гравітацыйны зарад»):

\Phi = 4 \pi G M

дзе G – гравітацыйная пастаянная.