Тэарэма Беры — Эсеена

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

У тэорыі імавернасцей цэнтральная гранічная тэарэма сцвярджае, што пры пэўных умовах размеркаванне імавернасцей сярэдняга значэння выпадковай выбаркі збягаецца(англ.) бел. к нармальнаму размеркаванню пры нарастанні аб'ёму выбаркі да бесканечнасці. Пры больш моцных дапушчэннях, тэарэма Беры — Эсеена (або няроўнасць Беры — Эсеена) колькасна ацэньвае скорасць, з якою гэта збежнасць адбываецца, даючы ацэнку найбольшай пагрэшнасці прыбліжэння сапраўднага размеркавання нармальным. Прыбліжэнне ацэньваецца па адлегласці Калмагорава — Смірнова. У выпадку незалежных выбарак скорасць збежнасці мае парадак n−1/2, дзе n — аб'ём выбаркі, а пастаянная ацэньваецца праз трэція абсалютныя нарміраваныя моманты.

Сцвярджэнне тэарэмы[правіць | правіць зыходнік]

Фармулёўкі тэарэмы могуць адрознівацца, бо яна была адкрыта незалежна двума матэматыкамі: Эндру Беры (у 1941) і Карлам-Густавам Эсеенам(англ.) бел. (1942), які затым, разам з іншымі аўтарамі, некалькі разоў паляпшаў тэарэму на працягу наступных дзесяцігоддзяў.

Аднолькава размеркаваныя складнікі[правіць | правіць зыходнік]

Адзін з варыянтаў, які ў нечым ахвяруе агульнасцю дзеля яснасці, гучыць наступным чынам:

Няхай X1, X2, …, — незалежныя і аднолькава размеркаваныя выпадковыя велічыні з E(Xi) = 0, E(X2i) = σ² > 0, і E(|Xi|³) = ρ < ∞. Вызначым выбарачнае сярэдняе:
Y_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}.
Няхай Fn ёсць функцыя размеркавання велічыні
{Y_n \sqrt{n} \over {\sigma}},
а Φ ёсць функцыя стандартнага нармальнага размеркавання.
Тады існуе дадатная пастаянная C такая, што для ўсіх x і n справядліва няроўнасць
\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le {C \rho \over \sigma^3\,\sqrt{n}}.\ \ \ \ (1)
Ілюстрацыя рознасці паміж упамянутымі ў тэарэме функцыямі размеркавання.

Гэта значыць: зададзена паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь(англ.) бел. з нулявым спадзяваннем і дадатнаю дысперсіяй, і, акрамя таго, з канечным трэцім абсалютным момантам. Тады функцыі размеркавання ўнармаванага выбарачнага сярэдняга і стандартнай нармальнай велічыні адрозніваюцца не больш чым на вызначаную велічыню. Варта заўважыць, што хібнасць прыбліжэння для ўсіх n абмежавана велічынёю парадку(англ.) бел. n−1/2.

На працягу гадоў вылічаныя значэнні пастаяннай C прыкметна панізіліся са значэння 7.59, атрыманага Эсеенам[1], да 0.7882, атрыманага ван-Беекам[2], пасля 0.7655[3], тады 0.7056[4], затым 0.7005[5], потым 0.5894[6], пазней 0.5129[7], затым 0.4785[8]. Падрабязны агляд можна знайсці ў артыкулах[7][9]. Найлепшая ацэнка на 2012 год, C < 0.4748, вынікае з няроўнасці

\sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le {0.33554 (\rho+0.415\sigma^3)\over \sigma^3\,\sqrt{n}},

даказанай Шаўцовай[10], пры ўліку суадносін σ³ ≤ ρ і 0.33554 · 1.415 < 0.4748. Аднак, калі ρ ≥ 1.286σ³, тады ацэнка

\sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le {0.3328 (\rho+0.429\sigma^3)\over \sigma^3\,\sqrt{n}},

якая таксама даказана Шаўцовай[10], дае яшчэ стражэйшую верхнюю ацэнку.

Эсеен[11] атрымаў ніжнюю мяжу для пастаяннай

 C\geq\frac{\sqrt{10}+3}{6\sqrt{2\pi}} \approx 0.40973 \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}} + 0.01079.

Рознаразмеркаваныя складнікі[правіць | правіць зыходнік]

Няхай X1, X2, …, — незалежныя выпадковыя велічыні з E(Xi) = 0, E(Xi²) = σi² > 0, і E(|Xi|³) = ρi < ∞. Таксама няхай
S_n = {X_1 + X_2 + \cdots + X_n \over \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\cdots+\sigma_n^2} }
унармаваная n-я частковая сума. Абазначым Fn функцыю размеркавання велічыні Sn, а сімвалам Φ — функцыю стандартнага нармальнага размеркавання. Дзеля зручнасці абазначым
\vec{\sigma}=(\sigma_1,...,\sigma_n),\ \vec{\rho}=(\rho_1,...,\rho_n).
У 1941 Эндру Беры даказаў, што для ўсіх n існуе абсалютная пастаянная C1, такая што
\sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le C_1\cdot\psi_1,\ \ \ \ (2)
дзе
\psi_1=\psi_1\big(\vec{\sigma},\vec{\rho}\big)=\Big({\textstyle\sum\limits_{i=1}^n\sigma_i^2}\Big)^{-1/2}\cdot\max_{1\le
i\le n}\frac{\rho_i}{\sigma_i^2}.
Незалежна, у 1942 годзе, Карл Густаў Эсеен даказаў, што для любых n існуе абсалютная пастаянная C0, такая што
\sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le C_0\cdot\psi_0, \ \ \ \ (3)
дзе
\psi_0=\psi_0\big(\vec{\sigma},\vec{\rho}\big)=\Big({\textstyle\sum\limits_{i=1}^n\sigma_i^2}\Big)^{-3/2}\cdot\sum\limits_{i=1}^n\rho_i.

Лёгка пераканацца, што ψ0≤ψ1. Таму няроўнасць (3) прынята называць няроўнасцю Беры-Эсеена, велічыня ψ0 называецца дробам Ляпунова трэцяга парадку. Больш таго, у выпадку, калі ўсе складнікі X1,… Xn размеркаваны аднолькава

\psi_0=\psi_1=\frac{\rho_1}{\sigma_1^3\sqrt{n}},

ацэнкі з няроўнасцей (1), (2) і (3) супадаюць.

Адносна C0, відавочна, ніжняя мяжа, устаноўленая Эсеенам[11], застаецца ў сіле:

C_0\geq\frac{\sqrt{10}+3}{6\sqrt{2\pi}} = 0.4097\ldots.

Верхнія межы для C0 пазней былі паніжаны ад зыходнай ацэнкі 7.59 Эсеена[1] да (тут пералічваюцца толькі нядаўнія вынікі) 0.9051 Залатарова[12], 0.7975 ван-Беека[2], 0.7915 Шыганава[3], 0.6379 і 0.5606 Цюрына[6][8]. На 2011 год найлепшая ацэнка 0.5600 атрымана Шаўцовай[13].

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Berry, Andrew C. (1941). "The Accuracy of the Gaussian Approximation to the Sum of Independent Variates". Transactions of the American Mathematical Society 49 (1): 122–136. doi:10.1090/S0002-9947-1941-0003498-3. 
  • Durrett, Richard (1991). Probability: Theory and Examples. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13206-5.
  • Esseen, Carl-Gustav (1942). "On the Liapunoff limit of error in the theory of probability". Arkiv för matematik, astronomi och fysik A28: 1–19. ISSN 0365-4133. 
  • Esseen, Carl-Gustav (1956). "A moment inequality with an application to the central limit theorem". Skand. Aktuarietidskr. 39: 160–170. 
  • Feller, William (1972). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25709-5.
  • Korolev, V. Yu.; Shevtsova, I. G. (2010). "On the upper bound for the absolute constant in the Berry–Esseen inequality". Theory of Probability and its Applications 54 (4): 638–658. doi:10.1137/S0040585X97984449. 
  • Korolev, Victor; Shevtsova, Irina (2010). "An improvement of the Berry–Esseen inequality with applications to Poisson and mixed Poisson random sums". Scandinavian Actuarial Journal: 1–25. doi:10.1080/03461238.2010.485370. http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03461238.2010.485370. 
  • Manoukian, Edward B. (1986). Modern Concepts and Theorems of Mathematical Statistics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96186-0.
  • Serfling, Robert J. (1980). Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.
  • Shevtsova, I. G. (2008). "On the absolute constant in the Berry–Esseen inequality". The Collection of Papers of Young Scientists of the Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics (5): 101–110. 
  • Shevtsova, I. G. (2007). "Sharpening of the upper bound of the absolute constant in the Berry–Esseen inequality". Theory of Probability and its Applications 51 (3): 549–553. doi:10.1137/S0040585X97982591. 
  • Shevtsova, I. G. (2010). "An Improvement of Convergence Rate Estimates in the Lyapunov Theorem". Doklady Mathematics 82 (3): 862–864. doi:10.1134/S1064562410060062. 
  • Shevtsova, Irina (2011). "On the absolute constants in the Berry Esseen type inequalities for identically distributed summands". arΧiv:1111.6554 [math.PR]. 
  • Shiganov, I.S. (1986). "Refinement of the upper bound of a constant in the remainder term of the central limit theorem". Journal of Soviet mathematics 35 (3): 109–115. doi:10.1007/BF01121471. 
  • Tyurin, I.S. (2009). "On the accuracy of the Gaussian approximation". Doklady Mathematics 80 (3): 840–843. doi:10.1134/S1064562409060155. 
  • Tyurin, I.S. (2010). "An improvement of upper estimates of the constants in the Lyapunov theorem". Russian Mathematical Surveys 65 (3(393)): 201–202. 
  • van Beek, P. (1972). "An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry–Esseen inequality". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 23 (3): 187–196. doi:10.1007/BF00536558. 
  • Zolotarev, V. M. (1967). "A sharpening of the inequality of Berry–Esseen". Z. Wahrsch. Verw. Geb. 8 (4): 332–342. doi:10.1007/BF00531598. 

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]