Тэарэма Гюйгенса-Штэйнера

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Ілюстрацыя тэарэмы для моманту плошчы.

Тэарэма Гюйгенса — Штэйнера, ці проста тэарэма Штэйнера (названа па імі швейцарскага матэматыка Якаба Штэйнера і галандскага матэматыка, фізіка і астранома Хрысціяна Гюйгенса): момант інерцыі J цела адносна адвольнай восі роўны суме моманту інерцыі гэтага цела J_C адносна паралельнай ёй восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела, і здабытку масы цела m на квадрат адлегласці d паміж восямі:

J=J_C+md^2\,\!

дзе

J_C — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела,
J — шуканы момант інерцыі адносна паралельнай восі,
m — маса цела,
d — адлегласць паміж указанымі восямі.

Выснова[правіць | правіць зыходнік]

Момант інерцыі, паводле азначэння:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r'}_i)^2\,\!

Радыус-вектар \vec{r'}_i\,\! можна распісаць як суму двух вектараў:

\vec{r'}_i=\vec{r}_i+\vec{d}\,\!,

дзе \vec{d} — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння. Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + 2 \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i \vec{d} + \sum_{i=1}^n m_i (\vec{d})^2\,\!

Выносячы за суму \vec{d}, атрымаем:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + 2 \vec{d} \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i + d^2 \sum_{i=1}^n m_i \,\!

Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:

\sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i=0\,\!

Тады:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + d^2 \sum_{i=1}^n m_i \,\!

Адкуль і вынікае шуканая формула:

J=J_C + m d^2\,\!,

дзе J_C — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

Прыклад[правіць | правіць зыходнік]

Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю C) роўны

J_C=\frac{mL^2}{12}.

Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны

J=J_C+md^2\,\!

дзе d — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю C. У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле d=L/2:

J=J_C+m\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{mL^2}{12}+\frac{mL^2}{4}=\frac{mL^2}{3}.

Пералік тэнзара інерцыі[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на тэнзар моманту інерцыі, што дазваляе атрымліваць тэнзар \mathbf{J}_{ij} адносна адвольнага пункта з тэнзара \mathbf{I}_{ij} адносна цэнтра мас. Няхай \mathbf{a} — зрушэнне ад цэнтра мас, тады

\mathbf{J}_{ij}=\mathbf{I}_{ij}+m(a^2\delta_{ij}-a_ia_j),

дзе

\mathbf{a}=a_1\mathbf{\hat{x}}+a_2\mathbf{\hat{y}}+a_3\mathbf{\hat{z}} — вектар зрушэння ад цэнтра мас, а \delta_{ij} — сімвал Кронекера.

Як бачна, для дыяганальных элементаў тэнзара (пры i=j) формула мае від тэарэмы Гюйгенса — Штэйнера для моманту адносна новай восі.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]


Wiki letter w.svg На гэты артыкул не спасылаюцца іншыя артыкулы Вікіпедыі,
калі ласка, карыстайцеся падказкай і пастаўце спасылкі ў адпаведнасці з прынятымі рэкамендацыямі.