Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля — адна з фундаментальных тэарэм класічнай электрадынамікі, сфармуляваная Андрэ Мары Амперам ў 1826 годзе. У 1861 году Джэймс Максвел зноў вывеў гэтую тэарэму, абапіраючыся на аналогіі з гідрадынамікай, і абагульніў яе (гл. ніжэй). Ураўненне, якое прадстаўляе сабой змест тэарэмы у гэтым абагульненым выглядзе, уваходзіць у лік ураўненняў Максвела. (Для выпадку пастаянных электрычных палёў - гэта значыць у прынцыпе ў магнітастатыцы - верная тэарэма ў першапачатковым выглядзе, які сфармуляваў Ампер і прыведзены у артыкуле першым; для агульнага выпадку правая частка павінна быць дапоўнена членам з вытворнай напружанасці электрычнага поля па часе - гл ніжэй). Тэарэма абвяшчае:

Цыркуляцыя магнітнага поля пастаянных токаў па ўсякім замкнёным контуры прапарцыйная суме сіл токаў, пранізлівых контур цыркуляцыі.

Гэтая тэарэма, асабліва ў замежнай або перакладной літаратуры, называецца таксама тэарэмай Ампера або законам Ампера пра цыркуляцыю (англ. Ampère's circuital law). Апошняя назва мае на ўвазе разгляд закона Ампера ў якасці больш фундаментальнага сцвярджэнні, чым закон Біё — Савара — Лапласа, які ў сваю чаргу разглядаецца ўжо ў якасці следства (што, у цэлым, адпавядае сучаснаму варыянту пабудовы электрадынамікі).

Для агульнага выпадку (класічнай) электрадынамікі формула павінна быць дапоўненая ў правай частцы членам, якія змяшчаюць вытворную па часе ад электрычнага поля (гл. ураўненні Максвела, а таксама параграф «Абагульненне» ніжэй). У такім дапоўненым выглядзе яна ўяўляе сабой чацвёртае ураўненне Максвела ў інтэгральнай форме.

Матэматычная фармулёўка[правіць | правіць зыходнік]

У матэматычнай фармулёўцы для магнітастатыкы тэарэма мае [1] наступны выгляд[2]:

\oint\vec B \cdot \vec{dl} = \frac{4\pi}{c}\int\vec j\cdot \vec{ds}

Тут \vec B — вектар магнітнай індукцыі, \vec jшчыльнасць току; інтэграванне злева вырабляецца па адвольным замкнёным контуры, справа — па адвольнай паверхні, нацягнутай на гэты контур. Дадзеная форма носіць назву інтэгральнай, паколькі ў відавочным выглядзе ўтрымлівае інтэграванне. Тэарэма можа быць таксама прадстаўлена ў дыферэнцыяльнай форме:

\mathrm{rot}\ \vec B = \frac{4\pi}{c}\vec j

Эквівалентнасць інтэгральнай і дыферэнцыяльнай формаў вынікае з тэарэмы Стокса.

Прыведзеная вышэй форма справядлівая для вакууму. У выпадку ўжывання яе ў асяроддзі (рэчыве), яна будзе карэктная толькі ў выпадку, калі пад j разумець наогул усё токі, гэта значыць ўлічваць і «мікраскапічныя» токі, бягучыя в рэчыве, у тым ліку «мікраскапічныя» токі, бягучыя у абласцях памерамі парадку памеру малекулы (гл. дыямагнетыкі) і магнітныя моманты мікрачасцін (см.напрыклад ферамагнетыкі).

Таму ў рэчыве, калі не грэбаваць яго магнітнымі ўласцівасцямі, часта зручна з поўнага току вылучыць ток намагнічанага (гл. звязаныя токі), выказаўшы яго праз велічыню намагнічанасць I і увёўшы вектар напружанасці магнітнага поля

\vec H = \vec B - 4\pi \vec I

Тады тэарэма пра цыркуляцыю запішацца ў форме

\oint\vec H\cdot \vec{dl} =
\frac{4\pi}{c}\int\vec j_f\cdot \vec{ds}
\mathrm{rot}\ \vec H = \frac{4\pi}{c}\vec j_f,

дзе пад \vec j_f (у адрозненне ад \vec j ў формуле вышэй) маюцца на ўвазе т. зв. свабодныя токі, у якіх ток намагнічання выключаны (што бывае зручна практычна, паколькі \vec j_f - гэта звычайна ўжо ў сутнасці макраскапічныя токі, якія не звязаны з намагнічаныя рэчывы і якія ў прынцыпе няцяжка непасрэдна вымераць)[3].

У дынамічным выпадку - гэта значыць, у агульным выпадку класічнай электрадынамікі - калі палі змяняюцца ў часе (а ў асяроддзях пры гэтым змяняецца і іх палярызацыя) - і гаворка тады ідзе аб абагульненай тэарэме, у якую ўваходзяць d\vec E/dt, - усё сказанае вышэй адносіцца і да мікраскапічным токах, звязаных з зменамі палярызацыі дыэлектрыка. Гэтая частка токаў тады ўлічваецца ў члене d\vec D/dt.

Абагульненне[правіць | правіць зыходнік]

Асноўным фундаментальным абагульненнем [4] тэарэмы з'яўляецца чацвёртае ураўненне Максвела. У інтэгральнай форме яно з'яўляецца прамым абагульненнем на дынамічны выпадак магнітостатычнай формулы, прыведзенай вышэй. Для вакууму [5]:

\oint\vec B \cdot \vec{dl} 
= \frac{1}{c} \int(4\pi \vec j
+ \frac{\partial \vec E}{\partial t})\cdot \vec{ds}

для асяроддзя[6]:

\oint\vec{H}\cdot \vec{dl}
= \frac{4\pi}{c} \int \vec j \cdot \vec{ds}
+ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\int\vec{D}\cdot \vec{ds}.

(Як бачым, формулы адрозніваюцца ад прыведзеных вышэй толькі адным дадатковым членам з хуткасцю змены электрычнага поля ў правай часткі).

Дыферэнцыяльную форму гэтага ураўнення:

\mathbf{rot}\vec{B} 
= \frac{4\pi}{c}\vec j
+ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{E},
\mathbf{rot}\vec{H} 
= \frac{4\pi}{c}\vec j
+ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\vec{D}

(у гаусавай сістэме, для вакууму і асяроддзя адпаведна) - таксама можна пры жаданні лічыць варыянтам абагульнення тэарэмы пра цыркуляцыю магнітнага поля, паколькі яна, вядома, цесна звязана з інтэгральнай.

Практычнае значэнне[правіць | правіць зыходнік]

Магнітнае поле прамалінейнага правадніка з токам.

Тэарэма пра цыркуляцыю гуляе ў магнітастатыцы прыблізна тую ж ролю, што і тэарэма Гауса ў электрастатыцы. У прыватнасці, пры наяўнасці пэўнай сіметрыі задачы, яна дазваляе проста знаходзіць велічыню магнітнага поля ва ўсім прасторы па зададзеных токах. Напрыклад, для вылічэння магнітнага поля ад бясконцага прамалінейнага правадніка з токам па закону Біё — Савара — Лапласа спатрэбіцца вылічыць невідавочны інтэграл, у той час як тэарэма пра цыркуляцыю (з улікам восевай сіметрыі задачы) дазваляе даць імгненны адказ:

B(r)\cdot 2\pi r = \frac{4\pi}{c} I \to B(r) = \frac{2I}{cr}.

Зноскі

  1. Прыведзена тут у гаусавай сістэме адзінак, у сістэме СІ канстанта ў правай частцы замест\frac{4\pi}{c} запісваецца як \mu_0.
  2. тут і ніжэй выкарыстаная сістэма СГС, у сістэме СІ каэфіцыенты адсутнічаюць
  3. На практыцы пры напісанні ураўненняў для асяроддзя індэкс f у токаў як правіла апускаецца, пішацца проста \vec j . Таксама часта не робіцца агаворак аб тым, што гэта менавіта «свабодныя» токі. У такой фенаменалагічнай тэорыі ніякіх іншых токаў відавочна не разглядаецца, хоць насамрэч (фізічна) звязаныя токі, вядома, ёсць, проста «схаваныя» ў іншыя велічыні - \vec I, \vec H т.п. і фармальна выключаны з разгляду.
  4. Паколькі гэта абагульненне грунтуецца на вернасці магнітастатычнага варыянту тэарэмы Ампера пра цыркуляцыю магнітнага поля і захаванні зарада (якое можа быць прынята як пастулат) і можа быць паказана досыць строга адпаведнасць абагульненага ўраўненні гэтых двух пасылкам, а пры накладанні пэўных дадатковых умоў - і адзінасць такога абагульнення, яно ў прынцыпе можа быць таксама сфармулявана ў выглядзе тэарэмы.
  5. У гаусавай сістэме адзінак.
  6. У асноўным тэксце — у СГС. У СІ — так:
    \oint\vec{H}\cdot \vec{dl}
= \int \vec j \cdot \vec {ds}
+ \frac{\partial}{\partial t}\int\vec{D}\cdot \vec{ds}.