Фармалізм Гамільтана — Якобі

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Класічная механіка
Гісторыя…
Гл. таксама «Фізічны партал»


У фізіцы і матэматыцы, ўраўненнем ГамільтанаЯкобі называецца ўраўненне наступнага выгляду

H\left(q_1,\dots,q_n;\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_n};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.

Тут S пазначае класічнае дзеянне, H(q_1,\dots,q_n;p_1,\dots,p_n;t) - гамільтаныян, q_i — абагульненыя каардынаты.

Непасрэдна адносіцца да класічнай (не квантавай) механікі, аднак добра прыстасаваны для ўстанаўлення сувязі паміж класічнай механікай і квантавай, так як яго можна, напрыклад, атрымаць практычна прама з ураўнення Шродзінгера ў набліжэнні хуткааскулюючай хвалевай функцыі (вялікіх частот і хвалевых лікаў).

У класічнай механіцы ўзнікае звычайна з спецыяльнага кананічнага пераўтварэнні класічнага гамільтаныяна, якое прыводзіць да гэтага нелінейнага дыферэнцыйнага ўраўнення першага парадку, рашэнне якога апісвае паводзіны дынамічнай сістэмы.

Варта адрозніваць ураўненне Гамільтана — Якобі ад ураўненняў руху Гамільтана і Эйлера — Лагранжа. Хоць гэтае ўраўненне і выводзіцца з іх, але ўяўляе сабой адно ўраўненне, якое апісвае дынаміку механічнай сістэмы з любой колькасцю ступеняў свабоды s, у адрозненне ад 2s ўраўненняў Гамільтана і s ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Ураўненне Гамільтана — Якобі дапамагае элегантна вырашыць задачу Кеплера.

Кананічнае пераўтварэнне[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненне Гамільтана — Якобі неадкладна вынікае з таго факту, што для любой функцыі S (q, p',t) (грэбуючы індэксамі), ўраўненні руху не змяняюцца для H (q, p, t) і H' (q', p', t)


(1) \qquad
{\partial S \over \partial q} = p, \qquad
{\partial S \over \partial p'} = q', \qquad
H' = H + {\partial S \over \partial t} .

Новыя ўраўненні руху становяцца


(2) \qquad {\partial H' \over \partial q'} = - {dp' \over dt}, \qquad
{\partial H' \over \partial p'} = {dq' \over dt}.

Ураўненне Гамільтана — Якобі з'яўляецца з спецыфічнай функцыі S, якая робіць H' роўным нулю. У гэтым выпадку ўсе яго вытворныя роўныя нулю і

 (3) \qquad {dp' \over dt} = {dq' \over dt} = 0.

Такім чынам, у штрыхаванай сістэме каардынат сістэма цалкам стацыянарна ў фазавай прасторы. Аднак, мы яшчэ не вызначылі, пры дапамозе функцыі S дасягаецца пераўтварэнне ў штрыхаванаю сістэму каардынат. Мы выкарыстоўваем той факт, што


H'(q',p',t) = H(q,p,t) + {\partial S \over \partial t} = 0.

Паколькі ўраўненне (1) дае p=\partial S/\partial q, можна запісаць


H\left(q,{\partial S \over \partial q},t\right) + {\partial S \over \partial t} = 0,

што яўляецца ўраўненнем Гамільтана — Якобі.

Рашэнне[правіць | правіць зыходнік]

Ураўненне Гамільтана — Якобі часта вырашаюць метадам падзелу зменных. Няхай некаторая каардыната (для пэўнасці будзем казаць пра q_1) і адпаведны ёй імпульс \frac{\partial S}{\partial q_1} ўваходзяць ва ўраўненне ў форме

\frac{\partial S}{\partial t} + H\left( f_1 \left(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}\right), q_2,\ldots,q_n,\frac{\partial S}{\partial q_2},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\right) =0.

Тады можна пакласці

f_1 \left(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}\right) = \alpha_1
\frac{\partial S}{\partial q_1} = g_1(q_1,\alpha_1),

дзе \alpha_1 — адвольная пастаянная, g_1зваротная функцыя, і вырашаць ураўненне Гамільтана — Якобі ўжо з меншай колькасцю зменных. Калі працэс можна працягнуць па ўсіх зменных, то рашэнне ўраўнення прыме выгляд

S = - \int H(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) dt + \int g_1(q_1,\alpha_1)dq_1 + \int g_2(q_2,\alpha_1,\alpha_2)dq_2 + \ldots + \int g_n(q_n,\alpha_1,\dots,\alpha_n)dq_n + k,

дзе \alpha_i — адвольныя сталыя, k — канстанта інтэгравання. Нагадаем, што пры гэтым S з'яўляецца функцыяй канчатковай кропкі (q_1,\dots,q_n). Так як дзеянне задае кананічнае пераўтварэнне гамільтанавай сістэмы, то яго вытворныя па каардынатах — гэта імпульсы ў новай сістэме каардынат, таму яны павінны захоўвацца:

\beta_i={\partial S \over \partial \alpha_i}(\mathbf{q},\alpha_1,\dots,\alpha_n,t).

Сумесна з ураўненнямі на імпульсы гэта вызначае рух сістэмы.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]