Функцыянал

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Функцыяна́л — гэта адлюстраванне, зададзенае на адвольным мностве і тое, якое мае лікавую вобласць значэнняў: звычайна мноства рэчаісных лікаў \R або комплексных лікаў \mathbb{C}[1].

Вызначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Вобласць вызначэння функцыяналу можа быць любым мноствам. Калі вобласць вызначэння з'яўляецца тапалагічнай прасторай, можна вызначыць бесперапынны функцыянал; калі вобласць вызначэння з'яўляецца лінейнай прасторай над \R або над \mathbb{C}, можна вызначыць лінейны функцыянал; калі вобласць вызначэння з'яўляецца спарадкаваным мноствам, можна вызначыць манатонны функцыянал.

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы X, называецца бесперапынным, калi ён бесперапынным як адлюстраванне ў тапалагічную прастору \R або \mathbb{C}.

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы X, называецца бесперапынным ў кропцы x \in X, калі ён непарыўны ў гэтай кропцы як адлюстраванне ў тапалагічную прастору \R або \mathbb{C}.

У больш шырокім сэнсе функцыяналам называецца любое адлюстраванне з адвольнага мноства ў адвольнае (не абавязкова лікавае) кальцо.

Функцыянал, зададзены на лінейнай прасторы, і які захоўвае складанне і множанне на канстанту, называецца лінейным функцыяналам. (Адлюстраванне плоскасці і ў прасторы ў лінейную прастору называюць аператарам) .

Мабыць, самы просты функцыянал — праекцыя — (супастаўленне вектару адной з яго кампанент або каардынат).

Даволі часта ў ролі плоскасці і ў прасторы выступае тая ці іншая прастора функцый (бесперапынныя функцыі на адрэзку, інтэграваныя функцыі на плоскасці і г.д.). Таму ў прыкладных галінах пад функцыяналам часта разумеюць функцыю ад функцый, адлюстраванне, якое пераводзіць функцыю ў лік (рэчаісны або комплексны).

Функцыянал на лінейным прасторы называецца станоўча вызначаным, калі яго значэнне неадмоўнае і роўна нулю толькі ў нулі.

Адлюстраванне, якое перакладае вектар у яго норму, з'яўляецца выпуклым станоўча вызначаным функцыяналам, гэта адзін з самых распаўсюджаных функцыяналаў. У фізіцы часта выкарыстоўваецца дзеянне — таксама функцыянал.

Задачы аптымізацыі фармулююцца на мове функцыяналаў : знайсці рашэнне (ўраўнення, сістэмы ўраўненняў, сістэмы абмежаванняў, сістэмы няроўнасцей, сістэмы уключэнняў і т. п.), якое дастаўляе экстрэмум (мінімум або максімум) зададзенаму функцыяналу. Функцыяналы таксама разглядаюцца ў варыяцыйным аналізе.

Функцыянал у лінейнай прасторы[правіць | правіць зыходнік]

Пазней ад паняцця традыцыйнага функцыяналу аддзялілася паняцце функцыяналу ў лінейнай прасторы, як функцыі, якая адлюстроўвае элементы лінейнай прасторы ў яго прастору скаляраў. Часцяком (напрыклад, калі прастора функцый з'яўляецца лінейнай прасторай) гэтыя дзве разнавіднасці паняцця "функцыянал" супадаюць, у той жа час яны не тоесныя і не паглынаюць адзін аднаго.

Асабліва важнай разнавіднасцю функцыяналаў з'яўляюцца лінейныя функцыяналы.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • норма функцыі
  • значэнне функцыі ў фіксаванай кропцы
  • максімум або мінімум функцыі на адрэзку
  • велічыня інтэграла ад функцыі
  • даўжыня графіка рэчаіснай функцыі рэчаіснай зменнай
  • даўжыня крывой, параметрычнай зададзенай вектарнай функцыяй рэчаіснага аргументу (даўжыня шляху)
  • плошча паверхні, параметрычнай зададзенай вектарнай функцыяй двух рэчаісных аргументаў
  • скалярны здабытак на фіксаваны вектар
  • дзеянне ў механіцы
  • функцыянал энергіі

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Математическая Энциклопедия — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 5.
  • Элементы теории функций и функционального анализа — изд. четвертое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с. — 35000 экз.
  • У.Рудин Функциональный анализ — М.: Мир, 1975.