Фігуры Лісажу

Фігуры Лісажу

Фігу́ры Лісажу́ — замкнутыя траекторыі, намаляваныя кропкай, якая здзяйсняе адначасова два гарманічныя ваганні ў двух узаемна перпендыкулярных напрамках. Упершыню даследаваны французскім навукоўцам Жулем Антуанам Лісажу. Выгляд фігур залежыць ад суадносін паміж перыядамі (частотамі), фазамі і амплітудамі абодвух ваганняў. У найпрасцейшым выпадку роўнасці абодвух перыядаў фігуры ўяўляюць сабой эліпсы, які пры рознасці фаз 0 альбо $\pi$ выраджаюцца ў адрэзкі прамых, а пры рознасці фаз ${\frac {\pi }{2}}$ і роўнасці амплітуд ператвараюцца ў акружнасць. Калі перыяды абодвух ваганняў недакладна супадаюць, то рознасць фаз увесь час змяняецца, з прычыны чаго эліпс увесь час дэфармуецца. Пры істотна розных перыядах фігуры Лісажу не назіраюцца. Аднак, калі перыяды суадносяцца як цэлыя лікі, то праз прамежак часу, роўны найменшаму кратнаму абодвух перыядаў, рухомая кропка зноў вяртаецца ў тое ж месца — атрымліваюцца фігуры Лісажу больш складанай формы. Фігуры Лісажу упісваюцца ў прамавугольнік, цэнтр якога супадае з пачаткам каардынат, а бакі паралельныя восям каардынат і змешчаны па абодвух баках ад іх на адлегласцях, роўных амплітудам ваганняў.

Матэматычны выраз для крывой Лісажу

$\left\{{\begin{aligned}&x(t)=A\sin(at+\delta ),\\&y(t)=B\sin(bt),\\\end{aligned}}\right.$

дзе A, B — амплітуды ваганняў, a, b — частоты, δ — зрух фаз.

Выгляд крывой істотна залежыць ад суадносін a/b. Калі суадносіны роўныя 1, фігура Лісажу мае выгляд эліпса, пры пэўных умовах яна мае выгляд акружнасці (A = B, δ = π/2 радыян) і адрэзка прамой (δ = 0). Яшчэ адзін прыклад фігуры Лісажу — парабала (a/b = 2, δ = π/2). Пры іншых суадносінах фігуры Лісажу ўяўляюць сабой больш складаныя фігуры, якія з'яўляюцца замкнутымі пры ўмове a/b — рацыянальны лік.

Фігуры Лісажу, дзе a = 1, b = N (N — натуральны лік) і

$\delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}\$

з'яўляюцца паліномамі Чабышова першага рода ступені N.

Прыклады

Анімацыя ўнізе дэманструе змяненне крывых пры нарастанні суадносін ${\frac {a}{b}}$ ад 0 да 1 з крокам 0.01. (δ=0)

Прыклады фігур Лісажу ніжэй з δ = π/2, няцотным натуральным лікам a, і таксама натуральным лікам b, і |a − b| = 1.

• 
  a = 1, b = 2 (1:2)
• 
  a = 3, b = 2 (3:2)
• 
  a = 3, b = 4 (3:4)
• 
  a = 5, b = 4 (5:4)
• 
  a = 5, b = 6 (5:6)
• 
  a = 9, b = 8 (9:8)

Выкарыстанне ў тэхніцы — параўнанне частот

Фігура Лісажу на экране асцылографа

Калі падаць на ўваходы «X» і «Y» асцылографа сігналы блізкіх частот, то на экране можна ўбачыць фігуры Лісажу. Гэты метад шырока ўжываецца для параўнання частот сігналаў дзвюх крыніц і для падстройкі адной крыніцы пад частату другой. Калі частоты блізкія, але не роўныя адна адной, фігура на экране круціцца, прычым перыяд цыкла кручэння з'яўляецца велічынёй, адваротнай рознасці частот, напрыклад, калі перыяд абароту роўны 2 с — розніца ў частотах сігналаў роўная 0,5 Гц. Пры роўнасці частот фігура застаецца нерухомай, у любой фазе, аднак на практыцы, за кошт кароткачасовых нестабільнасцей сігналаў, фігура на экране асцылографа звычайна ледзь-ледзь падрыгвае. Выкарыстоўваць для параўнання можна не толькі аднолькавыя частоты, але і тыя, што знаходзяцца ў кратных суадносінах, напрыклад, калі ўзорная крыніца можа выдаваць частату толькі 5 МГц, а аб'ект наладкі — 2,5 МГц.

Кручэнне фігуры Лісажу пры нязначнай расстройцы частот

Гл. таксама

• Ваганні
• Частата перыядычнага працэса
• Маятнік Фуко
• Канічнае сячэнне

Літаратура

• Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2-х томах; Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978.
• Справочник по физике. Яворский Б. М., Детлаф А. А. — М.: Наука, 1981.

Спасылкі

• On-line дэманстрацыя фігур Лісажу Архівавана 15 красавіка 2008.
• Circuits. Over Passive Circuits. Lissajous Figures