Цотнасць функцыі

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
f(x) = x — прыклад найпрасцейшай няцотнай функцыі.

Цотнымі ці няцотнымі называюцца функцыі, чые графікі маюць пэўны тып сіметрыю адносна змянення знака аргумента. Гэта паняцце важнае ў многіх галінах матэматычнага аналізу, такіх як тэорыя ступенных радоў і радоў Фур'е.

f(x) = x^2 — прыклад цотнай функцыі.
f(x) = x^3 няцотная
f(x) = x^3+1 ні цотная, ні няцотная.
  • Няцотная функцыя — функцыя, якая мяняе значэнне на процілеглае пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна цэнтра каардынат).
  • Цотная функцыя — функцыя, якая не мяняе свайго значэння пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна восі ардынат).
  • Ні цотная, ні няцотная функцыя (функцыя агульнага віду) — функцыя, якая не мае сіметрыі. Сюды адносяцца функцыі, якія не падыходзяць ні пад адно з папярэдніх двух азначэнняў.

Строгае азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Азначэнні ўводзяцца для любой сіметрычнай адносна нуля вобласці вызначэння X \subset \mathbb{R}, напрыклад, адрэзка ці прамежка.

  • Функцыя f называецца цотнаю, калі справядліва роўнасць
f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.
  • Функцыя f:X \to \mathbb{R} называецца няцотнаю, калі справядліва роўнасць
f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.
  • Функцыі, якія не належаць ні адной з вышэйназваных катэгорый, называюцца ні цотнымі ні няцотнымі (ці функцыямі агульнага віду).

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Графік няцотнае функцыі сіметрычны адносна пачатку каардынат O.
  • Графік цотнае функцыі сіметрычны адносна восі ардынат Oy.
  • Адвольную функцыю f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} можна адназначна прадставіць як суму цотнай і няцотнай функцый:
f(x) = g(x) + h(x),
дзе
g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.
  • Функцыя f(x) = 0 — адзіная функцыі, цотная і няцотная адначасова.
  • Сума, рознасць і ўвогуле любая лінейная камбінацыя цотных функцый цотная, а няцотных — няцотная.
  • Здабытак дзвюх функцый аднолькавае цотнасці цотны.
  • Здабытак дзвюх функцый рознае цотнасці няцотны.
  • Кампазіцыя дзвюх няцотных функцый няцотная.
  • Кампазіцыя цотнае функцыі з цотнаю ці няцотнаю функцыяй цотная.
  • Кампазіцыя любое функцыі з цотнаю цотная (але не наадварот!).
  • Вытворная цотнае функцыі няцотная, а няцотнай — цотная.
  • Інтэграл ад цотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны падвоенаму інтэгралу па палавіне прамежка:
 
\int\limits_{-a}^{a}f(x)\, dx = 2 \int\limits_{0}^{a}f(x)\, dx = 2 \int\limits_{-a}^{0}f(x)\, dx.
  • Інтэграл ад няцотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны нулю:
 
\int\limits_{-a}^{a}f(x)\, dx = 0.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Няцотныя функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Цотныя функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]