Цэнтральная гранічная тэарэма

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Цэнтра́льная грані́чная тэарэма (Ц. Г. Т.) — агульная назва шэрага тэарэм у тэорыі імавернасцей, якія сцвярджаюць, што сума дастаткова вялікай колькасці слаба залежных выпадковых велічынь, у якіх прыкладна аднолькавыя маштабы (ні адзін са складнікаў не пераважвае, не ўносіць у суму вызначальнага ўкладу), мае размеркаванне, блізкае да нармальнага.

Многія выпадковыя велічыні ў прыкладаннях фарміруюцца пад уплывам некалькіх слаба залежных выпадковых фактараў, таму іх размеркаванне лічаць нармальным. Пры гэтым павінна выконвацца ўмова, што ні адзін з фактараў не пераважвае. Цэнтральныя гранічныя тэарэмы ў гэтых выпадках абгрунтоўваюць прымяненне нармальнага размеркавання.

Класічная Ц. Г. Т[правіць | правіць зыходнік]

Няхай X1, ..., Xn, ... — паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з канечным матэматычным спадзяваннем µ і дысперсіяй σ2. Няхай таксама

S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i.

Тады[1]

\frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt n} \to N(0,1) па размеркаванню пры n \to \infty,

дзе N(0,1)нармальнае размеркаванне з нулявым матэматычным спадзяваннем і стандартным адхіленнем, роўным адзінцы.

Заўвагі

Абазначыўшы сімвалам \bar{X} выбарачнае сярэдняе першых n велічынь:

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,

вынік цэнтральнай гранічнай тэарэмы можна перапісаць у наступным выглядзе:

\sqrt{n} \frac{ \bar{X} - \mu}{\sigma} \to N(0,1) па размеркаванню пры n \to \infty.

Скорасць збежнасці можна ацаніць з дапамогаю няроўнасці Беры — Эсеена.

  • Кажучы прасцей, класічная цэнтральная гранічная тэарэма сцвярджае, што сума n незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь мае размеркаванне блізкае да N(n\mu, n\sigma^2). Ці, што тое самае, \bar{X} мае размеркаванне блізкае да N(\mu,\sigma^2/n).
  • Паколькі функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання непарыўная, збежнасць к гэтаму размеркаванню раўназначная папунктавай збежнасці функцый размеркавання к функцыі размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання. Прымаючы Z_n = \frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt{n}}, атрымліваем F_{Z_n}(x) \to \Phi(x),\; \forall x \in \mathbb{R}, дзе \Phi(x) — функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання.
  • Цэнтральная гранічная тэарэма ў класічнай фармулёўцы даказваецца метадам характарыстычных функцый (тэарэма Леві аб непарыўнасці).
  • Увогуле кажучы, са збежнасці функцый размеркавання не выцякае збежнасць шчыльнасцей. Тым не менш у дадзеным класічным выпадку гэта мае месца (пры ўмове, што для размеркавання велічынь Xi можна вызначыць шчыльнасць).

Лакальная Ц. Г. Т.[правіць | правіць зыходнік]

У дапушчэннях класічнае фармулёўкі, дапусцім у дадатак, што размеркаванне выпадковых велічынь \{X_i\}_{i=1}^{\infty} абсалютна непарыўнае, г. зн. мае шчыльнасць. Тады размеркаванне Z_n таксама абсалютна непарыўнае, і больш таго,

f_{Z_n}(x) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{x^2}{2}} пры n \to \infty,

дзе f_{Z_n}(x) — шчыльнасць выпадковае велічыні Z_n, а ў правай частцы стаіць шчыльнасць стандартнага нармальнага размеркавання.

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Вынік класічнай цэнтральнай гранічнай тэарэмы верны для выпадкаў, значна больш агульных, чым выпадак поўнай незалежнасці і аднолькавага размеркавання.

Ц. Г. Т. Ляпунова[правіць | правіць зыходнік]

Ляпуноў сфармуляваў і даказаў гэту тэарэму ў 1901 годзе.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні {Xi} маюць канечныя матэматычныя спадзяванні μi і дысперсіі σ2i і абсалютныя моманты E[|Xi − μi|2+δ]. Няхай

B_n^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2,
r_n^{2+\delta} = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}\left[|X_i-\mu_i|^{2+\delta}\right].

Няхай выконваецца умова Ляпунова:

\lim\limits_{n\to \infty} \frac{r_n^{2+\delta}}{B_n^{2+\delta}} = 0.

Тады[1]

\frac{1}{B_n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu_i) \to N(0,1) па размеркаванню пры n \to \infty.

Ц. Г. Т. Ліндэберга[правіць | правіць зыходнік]

Ліндэберг даказаў свой варыянт ЦГТ ў 1920-х гадах.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні X1, ..., Xn, ... вызначаны на адной імавернаснай прасторы і маюць канечныя матэматычныя спадзяванні і дысперсіі:

 \mathbb{E}[X_i] = \mu_i,\quad \mathrm{D}[X_i] = \sigma^2_i.

Няхай

B_n^2 = \sum\limits_{i=1}^n \sigma_i^2.

І няхай выконваецца ўмова Ліндэберга: г. зн. для любога ε > 0

\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{B_n^2} \sum\limits_{i=1}^n \int\limits_{|x-\mu_i|> \varepsilon B_n} (x-\mu_i)^2\, dF_i(x) = 0,

дзе Fi(x)функцыя размеркавання велічыні Xi .

Тады[2]

\frac{1}{B_n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu_i) \to N(0,1) па размеркаванню пры n \to \infty.
Заўвагі
  • З лінейнасці матэматычнага спадзявання маем
    \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum\limits_{i=1}^n \mu_i.
  • Велічыні Xi незалежныя, таму
    \mathrm{D}\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum\limits_{i=1}^n \sigma_i^2 = B_n^2.

Ц. Г. Т. для мартынгалаў[правіць | правіць зыходнік]

Няхай працэс (X_t)_{t\in \mathbb{N}} з'яўляецца мартынгалам(англ.) бел. з абмежаванымі прырашчэннямі, г. зн. для ўсіх t

\mathbb{E}\left[X_{t+1}-X_t \mid X_1,\ldots,X_t \right] = 0,

і існуе такая пастаянная C, што для ўсіх t амаль напэўна(англ.) бел. справядліва няроўнасць

|X_{t+1}-X_t| \le C.

Будзем таксама лічыць, што |X_1|\le C.

Няхай

\sigma_t^2 = \mathbb{E} \left[(X_t-X_{t-1})^2 \mid X_1 ,\ldots, X_{t-1}\right],

і рад з σ2i разбягаецца з імавернасцю 1(англ.) бел.:

\sum_{i=1}^\infty \sigma_i^2 = \infty.

Няхай

\tau_\nu = \min\left\{t : \sum_{i=1}^t \sigma_t^2 \ge \nu \right\}.

Тады[3]

\frac{X_{\tau_\nu}}{\sqrt{\nu}} \to N(0,1) па размеркаванню пры n \to \infty.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. 1,0 1,1 Гнеденко. Курс теории вероятностей. с. 241.
  2. Гнеденко. Курс теории вероятностей. с. 237.
  3. Billingsley (1995, Theorem 35.11, p. 476)

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Прохоров Ю. В. Центральная предельная теорема // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.) — М.: Советская энциклопедия. — Т. 5.
  • Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
  • Вентцель Е. С. Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей — М.: Наука, 1969. — 576 с.
  • Хинчин А. Я. Основные законы теории вероятностей — М.: ГТТИ, 1932. — 576 с.
  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure (Third ed.). John Wiley & sons. ISBN 0-471-00710-2. 

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]