Цэнтральная сіметрыя

Цэнтральнай сіметрыяй (часам цэнтральнай інверсіяй) адносна пункта A называюць пераўтварэнне прасторы, якое пераводзіць пункт X у такі пункт X`, што A — сярэдзіна адрэзка XX`. Цэнтральная сіметрыя з цэнтрам у пункце A звычайна абазначаецца праз $Z_{A}$ , у той час як абазначэнне $S_{A}$ можна пераблытаць з восевай сіметрыяй. Фігура называецца сіметрычнай адносна пункта A, калі для кожнага пункта фігуры сіметрычны ёй пункт адносна пункта A таксама належыць гэтай фігуры. Пункт A называецца цэнтрам сіметрыі фігуры. Кажуць таксама, што фігура валодае цэнтральнай сіметрыяй.

Іншыя назвы гэтага пераўтварэння — сіметрыя з цэнтрам A. Цэнтральная сіметрыя ў планіметрыі з'яўляецца асобным выпадкам павароту, дакладней, з'яўляецца паваротам на 180 градусаў.

Фармальны запіс[правіць | правіць зыходнік]

Няхай G — аператар цэнтральнай сіметрыі, пункт A зададзены радыус-вектарам ${\vec {r_{A}}}$ , а пункт, які пераўтвараецца, задаецца радыус-вектарам ${\vec {x}}$ . Тады мае месца наступная формула:

$G({\vec {x}})=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}$

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Калі фігура пераходзіць у сябе пры сіметрыі адносна пункта A, то A называюць цэнтрам сіметрыі гэтай фігуры.

Агульныя ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Цэнтральная сіметрыя з'яўляецца рухам (ізаметрыяй).

У n-мернай прасторы калі пераўтварэнне R з'яўляецца паслядоўным адлюстраваннем адносна n ўзаемна перпендыкулярных гіперплоскасцей, то R — цэнтральная сіметрыя адносна агульнага пункта гэтых гіперплоскасцей. Акрамя таго:

У цотнамерных прасторах цэнтральная сіметрыя захоўвае арыентацыю, а ў няцотнамерных — не захоўвае.

Цэнтральную сіметрыю можна прадставіць таксама як гоматэтыю з цэнтрам A і каэфіцыентам −1 ( $H_{A}^{-1}$ ).

Кампазіцыя дзвюх цэнтральных сіметрый — паралельны перанос на падвоены вектар з першага цэнтра ў другі:

$Z_{A}\circ Z_{B}=T_{2{\vec {AB}}}$

Сіметрыя на прамой[правіць | правіць зыходнік]

У аднамернай прасторы (на прамой) цэнтральная сіметрыя з'яўляецца люстраною сіметрыяй.

На плоскасці[правіць | правіць зыходнік]

На плоскасці (у 2-мернай прасторы) сіметрыя з цэнтрам A ўяўляе сабой паварот на 180° з цэнтрам A ( $R_{A}^{180}$ ). Цэнтральная сіметрыя на плоскасці, як і паварот, захоўвае арыентацыю.

У трохмернай прасторы[правіць | правіць зыходнік]

Цэнтральную сіметрыю ў трохмернай прасторы называюць таксама сферычнай сіметрыяй.

Яе можна прадставіць як кампазіцыю адлюстравання адносна плоскасці, якая праходзіць праз цэнтр сіметрыі, з паваротам на 180° адносна прамой, якая праходзіць праз цэнтр сіметрыі і перпендыкулярнай вышэйзгаданай плоскасці адлюстравання.

У чатырохмернай прасторы[правіць | правіць зыходнік]

У 4-мернай прасторы цэнтральную сіметрыю можна прадставіць як кампазіцыю двух паваротаў на 180° вакол дзвюх узаемна перпендыкулярных плоскасцей (перпендыкулярных ў 4-мерным сэнсе), якія праходзяць праз цэнтр сіметрыі.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]