Цэнтральная сіметрыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Цэнтральнай сіметрыяй (часам цэнтральнай інверсіяй) адносна пункта A называюць пераўтварэнне прасторы, якое пераводзіць пункт X у такі пункт X`, што A — сярэдзіна адрэзка XX`. Цэнтральная сіметрыя з цэнтрам у пункце A звычайна абазначаецца праз Z_A, у той час як абазначэнне S_A можна пераблытаць з восевай сіметрыяй. Фігура называецца сіметрычнай адносна пункта A, калі для кожнага пункта фігуры сіметрычны ёй пункт адносна пункта A таксама належыць гэтай фігуры. Пункт A называецца цэнтрам сіметрыі фігуры. Кажуць таксама, што фігура валодае цэнтральнай сіметрыяй.

Іншыя назвы гэтага пераўтварэння — сіметрыя з цэнтрам A. Цэнтральная сіметрыя ў планіметрыі з'яўляецца асобным выпадкам павароту, дакладней, з'яўляецца паваротам на 180 градусаў.

Фармальны запіс[правіць | правіць зыходнік]

  • Няхай G — аператар цэнтральнай сіметрыі, пункт A зададзены радыус-вектарам \vec{r_A}, а пункт, які пераўтвараецца, задаецца радыус-вектарам \vec{x}. Тады мае месца наступная формула:
  • G(\vec{x}) = 2\vec{r_A} - \vec{x}

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

Калі фігура пераходзіць у сябе пры сіметрыі адносна пункта A, то A называюць цэнтрам сіметрыі гэтай фігуры.

Агульныя ўласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • У n-мернай прасторы калі пераўтварэнне R з'яўляецца паслядоўным адлюстраваннем адносна n ўзаемна перпендыкулярных гіперплоскасцей, то R — цэнтральная сіметрыя адносна агульнага пункта гэтых гіперплоскасцей. Акрамя таго:
  • У цотнамерных прасторах цэнтральная сіметрыя захоўвае арыентацыю, а ў няцотнамерных — не захоўвае.
  • Цэнтральную сіметрыю можна прадставіць таксама як гоматэтыю з цэнтрам A і каэфіцыентам −1 (H_A^{-1}).
  • Кампазіцыя дзвюх цэнтральных сіметрый — паралельны перанос на падвоены вектар з першага цэнтра ў другі:
  • Z_A\circ Z_B = T_{2\vec{AB}}

Сіметрыя на прамой[правіць | правіць зыходнік]

У аднамернай прасторы (на прамой) цэнтральная сіметрыя з'яўляецца люстраною сіметрыяй.

На плоскасці[правіць | правіць зыходнік]

На плоскасці (у 2-мернай прасторы) сіметрыя з цэнтрам A ўяўляе сабой паварот на 180° з цэнтрам A (R_A^{180}). Цэнтральная сіметрыя на плоскасці, як і паварот, захоўвае арыентацыю.

У трохмернай прасторы[правіць | правіць зыходнік]

Цэнтральную сіметрыю ў трохмернай прасторы называюць таксама сферычнай сіметрыяй.

Яе можна прадставіць як кампазіцыю адлюстравання адносна плоскасці, якая праходзіць праз цэнтр сіметрыі, з паваротам на 180° адносна прамой, якая праходзіць праз цэнтр сіметрыі і перпендыкулярнай вышэйзгаданай плоскасці адлюстравання.

У чатырохмернай прасторы[правіць | правіць зыходнік]

У 4-мернай прасторы цэнтральную сіметрыю можна прадставіць як кампазіцыю двух паваротаў на 180° вакол дзвюх узаемна перпендыкулярных плоскасцей (перпендыкулярных ў 4-мерным сэнсе), якія праходзяць праз цэнтр сіметрыі.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]