Частковая вытворная

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

У матэматычным аналізе частковая вытворная — адно з абагульненняў паняцця вытворнай на выпадак функцыі некалькіх зменных.

У яўным выглядзе частковая вытворная функцыі f у кропцы (a_1,a_2,\ldots, a_n) вызначаецца наступным чынам:

\frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1,\cdots , a_n)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_k+\Delta x,\ldots,a_n)-f(a_1,\ldots,a_k,\ldots,a_n)}{\Delta x}.
Графік функцыі z = x² + xy + y². Частковая вытворная ў кропцы (1, 1, 3) пры пастаянным y адпавядае вуглу нахілу датычнай прамой, паралельнай плоскасці xz.
Сячэнні графіка, намаляванага вышэй, плоскасцю y = 1

Абазначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Варта звярнуць увагу, што абазначэнне \frac{\partial f}{\partial x} трэба разумець як цэльны сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай \frac{d f}{d x}, якую можна прадставіць, як адносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d_x f}{d x}, дзе d_x f частковы дыферэнцыял функцыі f па зменнай x. Часта неразуменне факта цэльнасці сімвала \frac{\partial f}{\partial x} з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне \partial x ў выразе \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} [1].

Геаметрычная інтэрпрэтацыя[правіць | правіць зыходнік]

Геаметрычна частковая вытворная з'яўляецца вытворнай па напрамку адной з каардынатных восей. Частковая вытворная функцыі f у пункце \vec{x}{\,}^0=(x_1^0,\ldots,x_n^0) па каардынаце x_k роўная вытворнай \frac{\partial f}{\partial \vec{e}} па напрамку \vec{e}=\vec{e}{\,}^k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0), дзе адзінка стаіць на k-ым месцы.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

Аб'ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы

Аб'ём V конуса залежыць ад вышыні h і радыуса r, згодна з формулай

V = \frac{\pi r^2 h}{3},

Частковая вытворная аб'ёму V адносна радыуса r

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},

якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конуса, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб'ёму m^3, а вымярэнні даўжыні m, то вышэйназваная вытворная будзе мець размернасць хуткасці змянення аб'ёму m^3/m, г.зн. змяненне велічыні радыуса на 1 м будзе адпавядаць змяненню аб'ёму конуса на \frac{ 2 \pi r h}{3} m^3.

Частковая вытворная адносна h

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3},

якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конуса, калі яго вышыня мяняецца, а яго радыус застаецца нязменным.

Поўная вытворная V адносна r і h

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}

і

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname d r}{\operatorname d h}

Адрозненне паміж поўнай і частковай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.

Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конуса застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванай адносіне s,

s = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}.

Гэта дае поўную вытворную адносна r:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + s\frac{\pi r^2}{3}

Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.

Зноскі

  1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»