Чатырохімпульс

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Чатырохі́мпульс[1][2], 4-і́мпульс4-вектар энергіі-імпульсу, рэлятывісцкае абагульненне класічнага трохмернага вектара імпульсу (колькасці руху) на чатырохмерную прастору-час. Тры кампаненты класічнага вектара імпульсу \vec {p} = (p_x, p_y, p_z) матэрыяльнай кропкі пры гэтым становяцца трыма прасторавымі кампанентамі вектара чатырохімпульсу. Часавай кампанентай вектара чатырохімпульсу пры гэтым з'яўляецца (з дакладнасцю да множніка) поўная энергія матэрыяльнай кропкі.


p^\mu=
\begin{pmatrix}
p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
E/c \\ \vec p 
\end{pmatrix}.

Чатырохімпульс карысны пры рэлятывісцкіх разліках, бо ён з'яўляецца каварыянтным вектарам Лорэнца (чатырохвектарам) і таму яго норма (у лорэнцавай метрыцы) інварыянтная пры пераходзе ў іншую інерцыяльную сістэму адліку (яго кампаненты пры гэтым змяняюцца ў адпаведнасці з пераўтварэннямі Лорэнца).

Квадрат чатырохімпульсу[правіць | правіць зыходнік]

4-імпульс і маса

Квадрат вектара чатырохімпульсу кропкавай часціцы з'яўляецца скалярным інварыянтам, роўным (з дакладнасцю да множніка \! c^2) квадрату масы часціцы:

 p^2 =  g_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = m^2c^2,

дзе cхуткасць святла, індэксы \mu,\nu = 0,...,3; тут выкарыстана пагадненне аб сумаванні па паўторных індэксах.

Матрыца g, якая ўваходзіць у скалярны здабытак 4-вектара p самога на сябе, з'яўляецца метрычным тэнзарам прасторы-часу. У спецыяльнай тэорыі адноснасці выкарыстоўваецца метрыка Мінкоўскага, адмысловы від матрыцы \! g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}, які адпавядае плоскай (няскрыўленай) прасторы-часу:

\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix};

у гэтым выпадку

m^2c^2 = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2.

Такім чынам, у СТА маса часціцы не мяняецца пры лорэнавых пераўтварэннях. Модуль чатырохімпульсу |p| = \sqrt{p^2} = mc для рэальных часціц заўсёды неадмоўны (г. зн. 4-імпульс заўсёды часападобен ці светлападобен; ён мог бы быць адмоўным для гіпатэтычных тахіёнаў, рушачых хутчэй за святло). Чатырохімпульс фатонаў і іншых бязмасавых часціц мае нулявы модуль, для масіўных часціц модуль дадатны. У залежнасці ад пагаднення аб сігнатуры, модуль 4-імпульсу можа быць вызначан з процілеглым знакам.

Сувязь з 4-хуткасцю[правіць | правіць зыходнік]

Для масіўнае часціцы 4-імпульс ровен здабытку яе масы на чатыроххуткасць

p^\mu = m \, U^\mu\!,

дзе 4-хуткасць ёсць вектар


U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}=
\begin{pmatrix}
U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\gamma c \\ \gamma v^x \\ \gamma v^y \\ \gamma v^z 
\end{pmatrix},

а велічыня \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} — гэта множнік Лорэнца і d\tauуласны час часціцы.

Кананічны імпульс у прасторы ў прысутнасці электрамагнітнага патэнцыялу[правіць | правіць зыходнік]

Для прымянення ў рэлятывісцкай квантавай механіцы мэтазгодна вызначыць «кананічны» чатырохімпульс Pμ, які прадстаўляе сабою суму чатырохімпульсу часціцы і здабытку яе электрычнага патэнцыялу на чатырохвектарны патэнцыял электрамагнітнага поля:

 P_{\mu} = p_{\mu} + q A_{\mu},

дзе 4-патэнцыял ёсць вектар, састаўлены са скалярнага патэнцыялу \varphi (часавая кампанента) і 3-вектарнага патэнцыялу \vec{A} (прасторавая кампанента):


\begin{pmatrix}
A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\varphi \\ -A_x \\ -A_y \\ -A_z 
\end{pmatrix}.

Тым самым улічваюцца патэнцыяльная энергія зараджаных часціц у электрастатычным патэнцыяле і сіла Лорэнца, якая дзейнічае на рушачыя зараджаныя часціцы ў магнітным полі. Гэта дае магчымасць уключыць уздзеянне электрамагнітнага поля ва ўраўненне Шродзінгера.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Фейнмановские лекции по физике. Т. 2. Гл. 17. Пространство-время. Алгебра четырехвекторов.
  2. ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена по специальности 01.04.23 «Физика высоких энергий» по техническим и физико-математическим наукам.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]