E8, матэматыка

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці
Група, матэматыка
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп
Гл. таксама «Фізічны партал»


Тэорыя струн
Calabi-Yau.png
Тэорыя суперструн
Гл. таксама «Фізічны партал»
Граф паліэдра E8

У матэматыцы, E_8 — найбольшая асаблівая простая група Лі. E_8 была адкрыта Вільгельмам Кілінгам ў 1888-1890 гадах, а сучаснае яе абазначэнне прыйшло з класіфікацыі простых алгебр Лі, якую ўвялі Элі Картал і Вільгельм Кілінг. Класіфікацыя вылучае чатыры бясконцых сямейства простых алгебр Лі, якія пазначаюцца A_n, B_n, C_n, D_n, і пяць асаблівых выпадкаў, якія пазначаюцца E6, E7, E8, F4 і G2.

Апісанне[правіць | правіць зыходнік]

E_8 мае ранг 8 і размернасць 248 (як мнагастайнасць). Вектары сістэмы каранёў вызначаны ў васьмі вымярэннях.

Схема Дынкіна[правіць | правіць зыходнік]

Схема Дынкіна для Е8 мае наступны выгляд:

Dynkin diagram of E8

Гэтая схема сцісла апісвае будову сістэмы каранёў. Кожны вузел схемы ўяўляе сабой просты корань. Лінія, якая злучае два простых корані, азначае, што яны знаходзяцца пад вуглом 120° адзін да аднаго. Два простых корані, не злучаныя лініяй, артаганальныя.

Матрыца Картала[правіць | правіць зыходнік]

Матрыца Картала сістэмы каранёў парадку r — гэта матрыца r\times r, элементы якой вызначаюцца простымі каранямі наступным чынам:

A_{ij} = 2\frac{(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_i,\alpha_i)}

дзе (\cdot, \cdot) — эўклідавы скалярны здабытак, а \alpha_i — простыя карані. Элементы матрыцы не залежаць ад выбару простых каранёў (з дакладнасцю да парадку).

Матрыца Картала для E8 мае выгляд

\left [
\begin{smallmatrix}
 2 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
-1 &  2 & -1&  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
 0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 &  0 & -1 \\
 0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & 0 \\
 0 &  0 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 & 2
\end{smallmatrix}\right ]

Вызначнік гэтай матрыцы роўны 1.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]