F4, матэматыка

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Група, алгебра
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп
Гл. таксама «Фізічны партал»


У матэматыцы, F4 — назва адной з пяці (кампактных або комплексных) адмысловых простых груп Лі, а таксама яе алгебры Лі \mathfrak{f}_4. F4</sub мае 4 ранг і размернасць 52. Група F4 адназвязная, а яе група знешніх аўтамарфізмаў трывіяльная. Найбольш простае дакладнае лінейнае прадстаўленне групы F4, а таксама яе алгебры Лі 26-мернае і непрыводнае.

Кампактная рэчаісная форма (комплекснай) групы F4 з'яўляецца групай ізаметрый 16-мернай рыманавай разнастайнасці, вядомай як 'октаніённая праектыўная плоскасць', OP2. Гэта можа быць паказана з дапамогай агульнага прыёму, які выкарыстоўвае канструкцыю, вядомую як магічны квадрат, распрацаваную Г. Фрэйденталем і Ж. Тытсам.

Ёсць 3 рэчаісныя групы Лі з алгебрай \mathfrak{f}_4: кампактная, падзеленая і трэцяя.

Алгебра Лі F4 можа быць атрымана шляхам дадавання да 36-мернай алгебры Лі so(9) 16 генератараў, якія ператвараюцца як спінары, аналагічна таму, як гэта робіцца ў канструяванні E8.

Алгебра[правіць | правіць зыходнік]

Каранёвыя вектары F4[правіць | правіць зыходнік]

(\pm 1,\pm 1,0,0),
(\pm 1,0,\pm 1,0),
(\pm 1,0,0,\pm 1),
(0,\pm 1,\pm 1,0),
(0,\pm 1,0,\pm 1),
(0,0,\pm 1,\pm 1),
(\pm 1,0,0,0),
(0,\pm 1,0,0),
(0,0,\pm 1,0),
(0,0,0,\pm 1),
\left(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2}\right),

і простыя дадатныя каранёвыя вектары

(0,1,-1,0),
(0,0,1,-1),
(0,0,0,1),
\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right).

Група Вейля/Група Каксетэра[правіць | правіць зыходнік]

Для дадзенай групы гэта — група сіметрыі гіперактаэдра.

Матрыца Картана[правіць | правіць зыходнік]


\begin{pmatrix}
2&-1&0&0\\
-1&2&-2&0\\
0&-1&2&-1\\
0&0&-1&2
\end{pmatrix}

Рашотка сіметрыі F4[правіць | правіць зыходнік]

4-мерная аб'ёмнацентраваная кубічная рашотка мае F4 як кропкавую групу сіметрыі. Гэта аб'яднанне двух гіперкубічных рашотак, кропкі кожнай з якіх ляжаць у цэнтрах гіперкубоў іншай, утварае кольца, званае кольцам кватэрніёнаў Гурвіца. 24 кватэрніёны Гурвіца з нормай 1 ўтвараюць гіперактаэдр.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]