Трыганаметрыя (грэч. "трыганон" трохвугольнік + "мятрэзіс" вымярэнне), раздзел матэматыкі пра суадносіны бакоў і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі - "рашэнне трохвугольніка", г.зн., вылічэнне невядомых велічынь паводле вядомых.
Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі да астранамічных вылічэнняў. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматык, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»), бо́льшая частка прац якога была знішчаная замежнымі захопнікамі.
Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.
Асноўны артыкул: Уласцівасці трыганаметрычных функцый
Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзем прамень l {\displaystyle l} з пачатка адліку і будзем адлічваць велічыню вугла α {\displaystyle \alpha } ад дадатнага праменя восі O x {\displaystyle Ox} супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню можна лічыць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядваць у градусах. Няхай пунктам скрыжавання l {\displaystyle l} з адзінкавай акружнасцю будзе M {\displaystyle M} . Тады па азначэнні:
Функцыі s i n ( α ) {\displaystyle sin(\alpha )} і c o s ( α ) {\displaystyle cos(\alpha )} вызначаныя на ўсём R {\displaystyle \mathbb {R} } , вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд 2 π {\displaystyle 2\pi } . Функцыя t g ( α ) {\displaystyle tg(\alpha )} не вызначана на π ∗ n {\displaystyle {\pi *n}} , n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } , а функцыя c t g ( α ) {\displaystyle ctg(\alpha )} не вызначана на π ∗ n + π / 2 {\displaystyle {\pi *n+\pi /2}} , n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } , і абедзве маюць вобласць значэнняў R {\displaystyle \mathbb {R} } і перыяд π {\displaystyle \pi } .
Функцыя, зваротная да
Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя формулы
Асноўная трыганаметрычная тоеснасць s i n 2 ( α ) + c o s 2 ( α ) = 1 {\displaystyle sin^{2}(\alpha )+cos^{2}(\alpha )=1} .
Формула косінуса сумы: c o s ( α + β ) = c o s ( α ) c o s ( b e t a ) − s i n ( α ) s i n ( β ) {\displaystyle cos(\alpha +\beta )=cos(\alpha )cos(beta)-sin(\alpha )sin(\beta )}
Формула косінуса рознасці: c o s ( α − β ) = c o s ( α ) c o s ( b e t a ) + s i n ( α ) s i n ( β ) {\displaystyle cos(\alpha -\beta )=cos(\alpha )cos(beta)+sin(\alpha )sin(\beta )}
Формула сінуса сумы: s i n ( α + β ) = s i n ( α ) c o s ( b e t a ) + s i n ( β ) c o s ( α ) {\displaystyle sin(\alpha +\beta )=sin(\alpha )cos(beta)+sin(\beta )cos(\alpha )}
Формула сінуса рознасці: s i n ( α − β ) = s i n ( α ) c o s ( b e t a ) − s i n ( β ) c o s ( α ) {\displaystyle sin(\alpha -\beta )=sin(\alpha )cos(beta)-sin(\beta )cos(\alpha )}
Раскладзем функцыі s i n ( x ) {\displaystyle sin(x)} і c o s ( x ) {\displaystyle cos(x)} ў рад Тэйлара:
s i n ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − . . . + ( − 1 ) k x 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! {\displaystyle sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-...+(-1)^{k}{\frac {x^{2k-1}}{(2k-1)!}}}
c o s ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − . . . + ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! {\displaystyle cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-...+(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}
- і вызначым трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай z {\displaystyle z} :
s i n ( z ) = z − z 3 3 ! + z 5 5 ! − . . . + ( − 1 ) k z 2 k − 1 ( 2 k − 1 ) ! {\displaystyle sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-...+(-1)^{k}{\frac {z^{2k-1}}{(2k-1)!}}}
c o s ( z ) = 1 − z 2 2 ! + z 4 4 ! − . . . + ( − 1 ) k z 2 k ( 2 k ) ! {\displaystyle cos(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-...+(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}}
Большасць уласцівасцей гэтых функцыяў для сапраўднай зменнай распаўсюджваецца і на комплексную зменную. Але на комплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў - усё C {\displaystyle \mathbb {C} } .
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглов прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў паказаным пункце не вызначана, а ў её наваколлі імкнецца ў бясконцасць).
sin π 60 = cos 29 π 60 = sin 3 ∘ = cos 87 ∘ = 2 ( 3 + 1 ) ( 5 − 1 ) − 2 ( 3 − 1 ) 5 + 5 16 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\cos {\frac {29\,\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }=\cos 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},}
cos π 60 = sin 29 π 60 = cos 3 ∘ = sin 87 ∘ = 2 ( 3 − 1 ) ( 5 − 1 ) + 2 ( 3 + 1 ) 5 + 5 16 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\sin {\frac {29\,\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }=\sin 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},}
tg π 60 = ctg 29 π 60 = tg 3 ∘ = ctg 87 ∘ = 2 ( 5 + 2 ) − 3 ( 5 + 3 ) + ( 2 − 3 ) ( 3 ( 5 + 1 ) − 2 ) 5 − 2 5 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 3^{\circ }=\operatorname {ctg} 87^{\circ }={\frac {2({\sqrt {5}}+2)-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},}
ctg π 60 = tg 29 π 60 = ctg 3 ∘ = tg 87 ∘ = 2 ( 2 ( 5 + 2 ) + 3 ( 5 + 3 ) ) + ( 3 ( 5 − 1 ) + 2 ) 2 ( 25 + 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 3^{\circ }=\operatorname {tg} 87^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},}
sin π 30 = cos 7 π 15 = sin 6 ∘ = cos 84 ∘ = 6 ( 5 − 5 ) − 5 − 1 8 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\cos {\frac {7\,\pi }{15}}=\sin 6^{\circ }=\cos 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1}{8}},}
cos π 30 = sin 7 π 15 = cos 6 ∘ = sin 84 ∘ = 2 ( 5 − 5 ) + 3 ( 5 + 1 ) 8 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\sin {\frac {7\,\pi }{15}}=\cos 6^{\circ }=\sin 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}},}
tg π 30 = ctg 7 π 15 = tg 6 ∘ = ctg 84 ∘ = 2 ( 5 − 5 ) − 3 ( 5 − 1 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }=\operatorname {ctg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}},}
ctg π 30 = tg 7 π 15 = ctg 6 ∘ = tg 84 ∘ = 2 ( 25 + 11 5 ) + 3 ( 5 + 3 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }=\operatorname {tg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)}{2}},}
sin π 20 = cos 9 π 20 = sin 9 ∘ = cos 81 ∘ = 2 ( 5 + 1 ) − 2 5 − 5 8 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\cos {\frac {9\,\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }=\cos 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},}
cos π 20 = sin 9 π 20 = cos 9 ∘ = sin 81 ∘ = 2 ( 5 + 1 ) + 2 5 − 5 8 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\sin {\frac {9\,\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }=\sin 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},}
tg π 20 = ctg 9 π 20 = tg 9 ∘ = ctg 81 ∘ = 5 + 1 − 5 + 2 5 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }=\operatorname {ctg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},}
ctg π 20 = tg 9 π 20 = ctg 9 ∘ = tg 81 ∘ = 5 + 1 + 5 + 2 5 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }=\operatorname {tg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},}
sin π 15 = cos 13 π 30 = sin 12 ∘ = cos 78 ∘ = 2 ( 5 + 5 ) − 3 ( 5 − 1 ) 8 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\cos {\frac {13\,\pi }{30}}=\sin 12^{\circ }=\cos 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}},}
cos π 15 = sin 13 π 30 = cos 12 ∘ = sin 78 ∘ = 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 8 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\sin {\frac {13\,\pi }{30}}=\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1}{8}},}
tg π 15 = ctg 13 π 30 = tg 12 ∘ = ctg 78 ∘ = 3 ( 3 − 5 ) − 2 ( 25 − 11 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }=\operatorname {ctg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},}
ctg π 15 = tg 13 π 30 = ctg 12 ∘ = tg 78 ∘ = 3 ( 5 + 1 ) + 2 ( 5 + 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }=\operatorname {tg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},}
sin 7 π 60 = cos 23 π 60 = sin 21 ∘ = cos 69 ∘ = − 2 ( 3 − 1 ) ( 5 + 1 ) + 2 ( 3 + 1 ) 5 − 5 16 , {\displaystyle \sin {\frac {7\,\pi }{60}}=\cos {\frac {23\,\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }=\cos 69^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},}
cos 7 π 60 = sin 23 π 60 = cos 21 ∘ = sin 69 ∘ = 2 ( 3 + 1 ) ( 5 + 1 ) + 2 ( 3 − 1 ) 5 − 5 16 , {\displaystyle \cos {\frac {7\,\pi }{60}}=\sin {\frac {23\,\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }=\sin 69^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},}
tg 7 π 60 = ctg 23 π 60 = tg 21 ∘ = ctg 69 ∘ = 2 ( 2 ( 5 − 2 ) − 3 ( 3 − 5 ) ) + ( 3 ( 5 + 1 ) − 2 ) 2 ( 25 − 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }=\operatorname {ctg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},}
ctg 7 π 60 = tg 23 π 60 = ctg 21 ∘ = tg 69 ∘ = 2 ( 2 ( 5 − 2 ) + 3 ( 3 − 5 ) ) + ( 3 ( 5 + 1 ) + 2 ) 2 ( 25 − 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }=\operatorname {tg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},}
sin 2 π 15 = cos 11 π 30 = sin 24 ∘ = cos 66 ∘ = 3 ( 5 + 1 ) − 2 ( 5 − 5 ) 8 , {\displaystyle \sin {\frac {2\,\pi }{15}}=\cos {\frac {11\,\pi }{30}}=\sin 24^{\circ }=\cos 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},}
cos 2 π 15 = sin 11 π 30 = cos 24 ∘ = sin 66 ∘ = 5 + 1 + 6 ( 5 − 5 ) 8 , {\displaystyle \cos {\frac {2\,\pi }{15}}=\sin {\frac {11\,\pi }{30}}=\cos 24^{\circ }=\sin 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},}
tg 2 π 15 = ctg 11 π 30 = tg 24 ∘ = ctg 66 ∘ = − 3 ( 3 + 5 ) + 2 ( 25 + 11 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }=\operatorname {ctg} 66^{\circ }={\frac {-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{2}},}
ctg 2 π 15 = tg 11 π 30 = ctg 24 ∘ = tg 66 ∘ = 3 ( 5 − 1 ) + 2 ( 5 − 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }=\operatorname {tg} 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{2}},}
sin 3 π 20 = cos 7 π 20 = sin 27 ∘ = cos 63 ∘ = − 2 ( 5 − 1 ) + 2 5 + 5 8 , {\displaystyle \sin {\frac {3\,\pi }{20}}=\cos {\frac {7\,\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }=\cos 63^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},}
cos 3 π 20 = sin 7 π 20 = cos 27 ∘ = sin 63 ∘ = 2 ( 5 − 1 ) + 2 5 + 5 8 , {\displaystyle \cos {\frac {3\,\pi }{20}}=\sin {\frac {7\,\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }=\sin 63^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},}
tg 3 π 20 = ctg 7 π 20 = tg 27 ∘ = ctg 63 ∘ = 5 − 1 − 5 − 2 5 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }=\operatorname {ctg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},}
ctg 3 π 20 = tg 7 π 20 = ctg 27 ∘ = tg 63 ∘ = 5 − 1 + 5 − 2 5 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }=\operatorname {tg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},}
sin 11 π 60 = cos 19 π 60 = sin 33 ∘ = cos 57 ∘ = 2 ( 3 + 1 ) ( 5 − 1 ) + 2 ( 3 − 1 ) 5 + 5 16 , {\displaystyle \sin {\frac {11\,\pi }{60}}=\cos {\frac {19\,\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }=\cos 57^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},}
cos 11 π 60 = sin 19 π 60 = cos 33 ∘ = sin 57 ∘ = − 2 ( 3 − 1 ) ( 5 − 1 ) + 2 ( 3 + 1 ) 5 + 5 16 , {\displaystyle \cos {\frac {11\,\pi }{60}}=\sin {\frac {19\,\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }=\sin 57^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},}
tg 11 π 60 = ctg 19 π 60 = tg 33 ∘ = ctg 57 ∘ = − 2 ( 5 + 2 ) + 3 ( 3 + 5 ) + ( 2 − 3 ) ( 3 ( 5 + 1 ) − 2 ) 5 − 2 5 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }=\operatorname {ctg} 57^{\circ }={\frac {-2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},}
ctg 11 π 60 = tg 19 π 60 = ctg 33 ∘ = tg 57 ∘ = − 2 ( 2 ( 5 + 2 ) + 3 ( 3 + 5 ) ) + ( 3 ( 5 − 1 ) + 2 ) 2 ( 25 + 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }=\operatorname {tg} 57^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},}
sin 13 π 60 = cos 17 π 60 = sin 39 ∘ = cos 51 ∘ = 2 ( 3 + 1 ) ( 5 + 1 ) − 2 ( 3 − 1 ) 5 − 5 16 , {\displaystyle \sin {\frac {13\,\pi }{60}}=\cos {\frac {17\,\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }=\cos 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},}
cos 13 π 60 = sin 17 π 60 = cos 39 ∘ = sin 51 ∘ = 2 ( 3 − 1 ) ( 5 + 1 ) + 2 ( 3 + 1 ) 5 − 5 16 , {\displaystyle \cos {\frac {13\,\pi }{60}}=\sin {\frac {17\,\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }=\sin 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},}
tg 13 π 60 = ctg 17 π 60 = tg 39 ∘ = ctg 51 ∘ = − 2 ( 2 ( 5 − 2 ) + 3 ( 3 − 5 ) ) + ( 3 ( 5 + 1 ) + 2 ) 2 ( 25 − 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }=\operatorname {ctg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},}
ctg 13 π 60 = tg 17 π 60 = ctg 39 ∘ = tg 51 ∘ = − 2 ( 2 ( 5 − 2 ) − 3 ( 3 − 5 ) ) + ( 3 ( 5 + 1 ) − 2 ) 2 ( 25 − 11 5 ) 4 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }=\operatorname {tg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},}
sin 7 π 30 = cos 8 π 30 = sin 42 ∘ = cos 48 ∘ = − ( 5 − 1 ) + 6 ( 5 + 5 ) 8 , {\displaystyle \sin {\frac {7\,\pi }{30}}=\cos {\frac {8\,\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }=\cos 48^{\circ }={\frac {-({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},}
cos 7 π 30 = sin 8 π 30 = cos 42 ∘ = sin 48 ∘ = 3 ( 5 − 1 ) + 2 ( 5 + 5 ) 8 , {\displaystyle \cos {\frac {7\,\pi }{30}}=\sin {\frac {8\,\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }=\sin 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},}
tg 7 π 30 = ctg 8 π 30 = tg 42 ∘ = ctg 48 ∘ = 3 ( 5 + 1 ) − 2 ( 5 + 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }=\operatorname {ctg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},}
ctg 7 π 30 = tg 8 π 30 = ctg 42 ∘ = tg 48 ∘ = 3 ( 3 − 5 ) + 2 ( 25 − 11 5 ) 2 , {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }=\operatorname {tg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},}
tg π 120 = ctg 59 π 120 = tg 1.5 ∘ = ctg 88.5 ∘ = 8 − 2 ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) − 2 ( 2 + 3 ) ( 5 + 5 ) 8 + 2 ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) + 2 ( 2 + 3 ) ( 5 + 5 ) , {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{120}}=\operatorname {ctg} {\frac {59\,\pi }{120}}=\operatorname {tg} 1.5^{\circ }=\operatorname {ctg} 88.5^{\circ }={\sqrt {\frac {8-{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}{8+{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}}},}
cos π 240 = sin 119 π 240 = cos 0.75 ∘ = sin 89.25 ∘ = 1 16 ( 2 − 2 + 2 ( 2 ( 5 + 5 ) + 3 ( 1 − 5 ) ) + {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0.75^{\circ }=\sin 89.25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+\right.} + 2 + 2 + 2 ( 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ) ) , {\displaystyle \left.+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),}
cos π 17 = sin 15 π 34 = 1 8 2 ( 2 3 17 − 2 ( 85 + 19 17 ) + 17 + 2 ( 17 − 17 ) + 17 + 15 ) . {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}=\sin {\frac {15\,\pi }{34}}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2\left(2{\sqrt {3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2(85+19{\sqrt {17}})}}+17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {17}}+15\right)}}.}
Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.
Сферычная трыганаметрыя
Эліптычная трыганаметрыя
Гіпербалічная трыганаметрыя
Я.Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
Ю.Ю. Громов, Н.А. Земской, О.Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
И.И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»
_Surface_Plot.png)
