Гарманічныя ваганні

Графікі функцый f(x) = sin(x) і g(x) = cos(x) на дэкартавай плоскасці.

Гармані́чныя вага́нні – ваганні, пры якіх функцыя стану сістэмы змяняеецца з часам наступным чынам:

$x=Asin(\omega t+\phi _{0})$

дзе A – амплітуда ваганняў, $\omega$ – вуглавая частата, $\phi _{0}$ – пачатковая фаза (гэта значыць фаза, у якой сістэма знаходзіцца у момант часу t = 0).

Хуткасць і паскарэнне матэрыяльнага пункта, які здзяйсняе механічныя гарманічныя ваганні, роўныя

$v={\frac {dx}{dt}}=A\omega cos(\omega t+\varphi _{0})$

$a={\frac {dv}{dt}}=-A\omega ^{2}sin(\omega t+\varphi _{0})$

З апошняй роўнасці вынікае дыферэнцыяльнае ўраўненне гарманічнага вагання:

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-A\omega ^{2}sin(\omega t+\varphi _{0})=-\omega ^{2}x$

або

$\omega ^{2}x+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=0$

Такім чынам, пры механічным гарманічным ваганні паскарэнне матэрыяльнага пункта прапарцыйна яго адхіленню ад пункта раўнавагі. Адпаведна да другога закона Ньютана, гэта магчыма, калі на яго дзейнічае сіла, велічыня якой вызначаецца формулай:

$F=-kx$

дзее k – каэфіцыент прапарцыянальнасці. Знак «мінус» адлюстроўвае той факт, што сіла дзейнічае ў напрамку, адваротным да адхілення.

Вуглавая частата ваганняў складае

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Яна, такім чынам, цалкам вызначаецца параметрамі сістэмы, што вагаецца, і не залежыць ад амплітуды ваганняў.

Прыклады сістэм, у якіх адбываюцца механічныя гарманічныя ваганні:

• цела на пружыне
• матэматычны маятнік
• фізічны маятнік

Прыкладам сістэмы, у якой здзяйсняюцца электрычныя гарманічныя ваганні, з'яўляецца вагальны контур.

Гл. таксама

• Гарманічны асцылятар
• Матэматычны маятнік
• Фізічны маятнік
• Псеўдагарманічныя ваганні