Вызначнік (алгебра): Розніца паміж версіямі
[дагледжаная версія] | [дагледжаная версія] |
др Bot: Migrating 45 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q178546 (translate me) |
др clean up, replaced: раўнання → ураўнення, (алгебра) → , алгебра, , → ,, Фактор → Факцёр, я у → я ў, (матэматыка)| → , матэматыка| (3), == using AWB |
||
Радок 13: | Радок 13: | ||
|isbn = |
|isbn = |
||
}} |
}} |
||
</ref> (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай [[матрыца |
</ref> (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай [[матрыца, матэматыка|матрыцы]] ([[мнагачлен]] ад {{math|''n''<sup>2</sup>}} зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца [[выраджаная матрыца|выраджаная]]. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх |
||
лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі). |
лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі). |
||
Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных |
Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д. |
||
== Строгае азначэнне == |
== Строгае азначэнне == |
||
=== Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы === |
=== Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы === |
||
Няхай |
Няхай |
||
:<math> |
:<math> |
||
Радок 33: | Радок 32: | ||
'''Вызначнік''' {{math|''n'' × ''n''}}-матрыцы {{math|''A''}} − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны: |
'''Вызначнік''' {{math|''n'' × ''n''}}-матрыцы {{math|''A''}} − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны: |
||
:<math>\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \dots a_{n, \sigma(n)},</math> |
:<math>\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \dots a_{n, \sigma(n)},</math> |
||
дзе складанне адбываецца па ўсіх [[перастаноўка |
дзе складанне адбываецца па ўсіх [[перастаноўка, камбінаторыка|перастаноўках]] {{math|''σ''}} мноства {{math|{1,...,''n''} }}, {{math|sgn(''σ'')}} − знак перастаноўкі {{math|''σ''}}, роўны +1, калі {{math|''σ''}} [[цотнасць перастаноўкі, камбінаторыка|цотная]], і роўны -1, калі {{math|''σ''}} [[цотнасць перастаноўкі, камбінаторыка|няцотная]]. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
Няхай |
Няхай |
||
:<math> |
:<math> |
||
Радок 46: | Радок 44: | ||
\end{pmatrix} |
\end{pmatrix} |
||
</math> |
</math> |
||
− [[матрыца |
− [[матрыца, матэматыка|матрыца]], каэфіцыенты {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}} якой належаць [[колца, алгебра|колцу]] {{math|''R''}}, у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе [[адзінка (тэорыя груп)|адзінка]]. |
||
Абазначым праз {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} {{math|''i''}}-ты слупок матрыцы {{math|''A''}}: |
Абазначым праз {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} {{math|''i''}}-ты слупок матрыцы {{math|''A''}}: |
||
Радок 64: | Радок 62: | ||
== Уласцівасці == |
== Уласцівасці == |
||
* Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы: |
* Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы: |
||
*: <math>\det E = 1</math> |
*: <math>\det E = 1</math> |
||
Радок 71: | Радок 68: | ||
*: <math>\det (AB) = \det (A) \cdot \det (B)</math> |
*: <math>\det (AB) = \det (A) \cdot \det (B)</math> |
||
* Няхай {{math|''r''}} ёсць [[скаляр|скалярнай велічынёю]], {{math|''A''}} |
* Няхай {{math|''r''}} ёсць [[скаляр|скалярнай велічынёю]], {{math|''A''}} з'яўляецца квадратнай [[матрыца, матэматыка|матрыцай]] парадку {{math|''n''}}. Тады |
||
*: <math>\det(rA) = r^n \det(A)</math> |
*: <math>\det(rA) = r^n \det(A)</math> |
||
Радок 80: | Радок 77: | ||
*:<math>\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} </math> |
*:<math>\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} </math> |
||
* Калі матрыца {{math|''A''}} трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} 0}} пры {{math|''i'' > ''j''}}; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} 0}} пры {{math|''i'' < ''j''}}), то яе вызначнік роўны здабытку |
* Калі матрыца {{math|''A''}} трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} 0}} пры {{math|''i'' > ''j''}}; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: {{math|''a''<sub>''ij''</sub> {{=}} 0}} пры {{math|''i'' < ''j''}}), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў: |
||
*:<math>\det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}.</math> |
*:<math>\det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}.</math> |
||
== Вызначнікі малых парадкаў == |
== Вызначнікі малых парадкаў == |
||
Для матрыцы першага парадку '''вызначнік''' роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы: |
Для матрыцы першага парадку '''вызначнік''' роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы: |
||
: <math>\Delta=\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}</math> |
: <math>\Delta=\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}</math> |
||
Радок 95: | Радок 91: | ||
дзе <math> M_{1j}</math> — [[дадатковы мінор]] элемента <math>a_{1j}.</math> |
дзе <math> M_{1j}</math> — [[дадатковы мінор]] элемента <math>a_{1j}.</math> |
||
''Заўвага'': каб атрымаць дадатковы мінор {{math|''M''<sub>''ij''</sub>}} элемента {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}} |
''Заўвага'': каб атрымаць дадатковы мінор {{math|''M''<sub>''ij''</sub>}} элемента {{math|''a''<sub>''ij''</sub>}}, трэба закрэсліць {{math|''i''}}-ты радок і {{math|''j''}}-ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам. |
||
Адсюль вынікае, што '''вызначнік''' матрыцы {{math|3 × 3}} раўняецца: |
Адсюль вынікае, што '''вызначнік''' матрыцы {{math|3 × 3}} раўняецца: |
||
Радок 119: | Радок 115: | ||
|isbn = |
|isbn = |
||
}} |
}} |
||
⚫ | |||
[[Катэгорыя:Лінейная алгебра]] |
[[Катэгорыя:Лінейная алгебра]] |
||
[[Катэгорыя:Алгебра]] |
[[Катэгорыя:Алгебра]] |
||
⚫ |
Версія ад 23:24, 2 студзеня 2014
Вызначнік[1] (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад n2 зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).
Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.
Строгае азначэнне
Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы
Няхай
Вызначнік n × n-матрыцы A − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:
дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках σ мноства {1,...,n} , sgn(σ) − знак перастаноўкі σ, роўны +1, калі σ цотная, і роўны -1, калі σ няцотная.
Праз адметныя ўласцівасці
Няхай
− матрыца, каэфіцыенты aij якой належаць колцу R, у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.
Абазначым праз ai i-ты слупок матрыцы A:
Вызначнікам называецца функцыя ад матрыцы A, якая прымае значэнні з колца R і задавальняе наступныя ўмовы:
- Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:
- Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):
- Вызначнік як функцыя ад n слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):
Уласцівасці
- Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:
- Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:
- Няхай r ёсць скалярнай велічынёю, A з'яўляецца квадратнай матрыцай парадку n. Тады
- Транспанаванне не змяняе велічыні вызначніка:
- Калі матрыца A трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: aij = 0 пры i > j; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: aij = 0 пры i < j), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў:
Вызначнікі малых парадкаў
Для матрыцы першага парадку вызначнік роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:
Для матрыцы 2 × 2 вызначнік роўны
Для матрыцы n × n вызначнік можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як раскаданне па першым радку):
дзе — дадатковы мінор элемента
Заўвага: каб атрымаць дадатковы мінор Mij элемента aij, трэба закрэсліць i-ты радок і j-ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.
Адсюль вынікае, што вызначнік матрыцы 3 × 3 раўняецца:
Зноскі
- ↑ Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
Крыніцы
- Винберг Э.Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.