Даўжыня крывой: Розніца паміж версіямі

Перайсці да навігацыі Перайсці да пошуку
229 байтаў дададзена ,  8 гадоў таму
др
няма тлумачэння праўкі
др (Bot: Migrating 24 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q670036 (translate me))
дрНяма тлумачэння праўкі
'''Даўжынёй крывой''' у [[метрычная прастора|метрычнай прасторы]] <math>(X,\rho)</math> завеццаназываецца [[варыяцыя функцыі|варыяцыя]] якаяадлюстравання, задаеякім крывуюзадаецца адлюстраваннякрывая,
{{арфаграфія}}
г.з. [[даўжыня]] крывой <math>\gamma:[a,b]\to X</math> ёсць велічыня, роўная:
'''Даўжынёй крывой''' у [[метрычная прастора|метрычнай прасторы]] <math>(X,\rho)</math> завецца [[варыяцыя функцыі|варыяцыя]] якая задае крывую адлюстравання,
г.з. [[даўжыня]] крывой <math>\gamma:[a,b]\to X</math> ёсць велічыня роўная:
: <math>\sup\limits_{P} \sum\limits_{k=0}^m \rho(\gamma(x_{k+1}),\gamma(x_k))</math>,
дзе [[дакладная верхняя грань]] бярэцца па ўсіх [[разбіццё|разбіццях]] <math>P</math> [[Адрэзак|адрэзка]] <math>[a,b]</math>.
 
== Звязаныя азначэнні ==
Калі даўжыня канчатковаяканечная, то кажуць, што крывая '''выпрастальная''', у адваротным выпадку '''неспрамляемаяневыпрастальная'''.
 
== Формулы ==
Калі крывая класаналежыць класу <math>C^1</math> у <math>\R^n</math>, то яе даўжыня роўная:
* У трохмернай еўклідавай прасторы <math>\mathbb{R}^3</math>:
* У <math>\mathbb{R}^3</math> —: <math>\int\limits_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\, dt.</math>.
* У агульным выпадку {{math|''n''}}-мернай еўклідавай прасторы <math>\mathbb{R}^n</math>:
* Увогуле выпадку <math>\mathbb{R}^n</math> —: <math>\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \left( f'_k (t) \right)^2} \, dt.</math>.
* Калі крывая зададзена ў на плоскасці <math>\mathbb{R}^2</math> як графік функцыі {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}}, то яе даўжыня роўная
*: <math>\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\, dx.</math>
 
{{math-stub}}
* Увогуле выпадку <math>\mathbb{R}^n</math> — <math>\int\limits_a^b \sqrt{\sum\limits_{k=1}^n \left( f'_k (t) \right)^2} \, dt</math>.
* У <math>\mathbb{R}^3</math> — <math>\int\limits_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\, dt</math>.
* Калі крывая зададзеная ў <math>\mathbb{R}^2</math> як ''f(x)'', то даўжыня роўная <math>\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\, dx</math>.
 
[[Катэгорыя:Крывыя]]

Навігацыя