Частковая вытворная: Розніца паміж версіямі

З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
[дагледжаная версія][дагледжаная версія]
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
Artificial123 (размовы | уклад)
Новая старонка: '{{Значэнні|Вытворная}} У '''матэматычным аналізе''' '''частковая вытворная''' — адно з абагул...'
 
Mprach (размовы | уклад)
Няма тлумачэння праўкі
Радок 56: Радок 56:


Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца [[дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных|дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных]] і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.
Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца [[дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных|дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных]] і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.

{{зноскі}}

Версія ад 20:04, 19 лютага 2014

У матэматычным аналізе частковая вытворная — адно з абагульненняў паняцця вытворнай на выпадак функцыі некалькіх зменных.

У відавочным выглядзе прыватная вытворная функцыі у кропцы вызначаецца наступным чынам:

Графік функцыі z = x² + xy + y². Частковая вытворная ў кропцы (1, 1, 3) пры пастаянным y адпавядае вугле нахілу датычнай прамой, паралельнай плоскасці xz.
Сячэнні графіка, які намаляваны вышэй, плоскасцю y = 1

Абазначэнне

Варта звярнуць увагу, што абазначэнне варта разумець як цэльны сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай ,, якую можна ўявіць, як адносіны дыферэнцыялаў функцыі і аргументу. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіны дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: , дзе частковы дыферэнцыял функцыі па зменнай . Часта неразуменне факту цэльнасці сімвала з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне ў выразе . [1].

Геаметрычная інтэрпрэтацыя

Геаметрычна частковая вытворная з'яўляецца вытворнай па напрамку адной з каардынатных восей. Частковая вытворная функцыі у пункце па каардынаце роўная вытворнай па напрамку , дзе адзінка стаіць на -ым месцы.

Прыклады

Аб'ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы

Аб'ём V конусу залежыць ад вышыні h і радыусу r, згодна з формулай

Частковая вытворная аб'ёму V адносна радыусу r

якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конусу, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб'ёму , а вымярэнні даўжыні , то вышэйназваная вытворная будзе мець памернасць хуткасці вымярэння аб'ёму , г.зн. змена велічыні радыусу на 1 м будзе адпавядаць змене аб'ёму конусу на .

Частковая вытворная адносна h

якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конусу, калі яго вышыня мяняецца, а яго радыус застаецца нязменным.

Поўная вытворная V адносна r і h

і

Адрозненне паміж поўнай і прыватнай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.

Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конусу застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаваным дачыненні да k,

Гэта дае поўную вытворную адносна r:

Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.

Зноскі

  1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»