Частковая вытворная

У матэматычным аналізе частковая вытворная — адно з абагульненняў паняцця вытворнай на выпадак функцыі некалькіх зменных.

У яўным выглядзе частковая вытворная функцыі $f$ у кропцы $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ вызначаецца наступным чынам:

${\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{k}+\Delta x,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{k},\ldots ,a_{n})}{\Delta x}}.$

Графік функцыі z = x² + xy + y². Частковая вытворная ў кропцы (1, 1, 3) пры пастаянным y адпавядае вуглу нахілу датычнай прамой, паралельнай плоскасці xz.

Сячэнні графіка, намаляванага вышэй, плоскасцю y = 1

Абазначэнне

Варта звярнуць увагу, што абазначэнне ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ трэба разумець як цэльны сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай ${\frac {df}{dx}},$ якую можна прадставіць, як адносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: ${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {d_{x}f}{dx}}$, дзе $d_{x}f$ — частковы дыферэнцыял функцыі $f$ па зменнай $x$. Часта неразуменне факта цэльнасці сімвала ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне $\partial x$ ў выразе ${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}$ .

Геаметрычная інтэрпрэтацыя

Геаметрычна частковая вытворная з'яўляецца вытворнай па напрамку адной з каардынатных восей. Частковая вытворная функцыі $f$ у пункце ${\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})$ па каардынаце $x_{k}$ роўная вытворнай ${\frac {\partial f}{\partial {\vec {e}}}}$ па напрамку ${\vec {e}}={\vec {e}}{\,}^{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$, дзе адзінка стаіць на $k$-ым месцы.

Прыклады

Аб'ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы

Аб'ём V конусу залежыць ад вышыні h і радыуса r, згодна з формулай

$V={\frac {\pi r^{2}h}{3}},$

Частковая вытворная аб'ёму V адносна радыуса r

${\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},$

якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конуса, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб'ёму $m^{3}$, а вымярэнні даўжыні $m$, то вышэйназваная вытворная будзе мець размернасць хуткасці змянення аб'ёму $m^{3}/m$, г.зн. змяненне велічыні радыуса на 1 м будзе адпавядаць змяненню аб'ёму конуса на ${\frac {2\pi rh}{3}}$ $m^{3}$.

Частковая вытворная адносна h

${\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},$

якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб'ём конусу, калі яго вышыня мяняецца, а яго радыус застаецца нязменным.

Поўная вытворная V адносна r і h

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}$

і

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} h}}$

Адрозненне паміж поўнай і частковай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.

Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конусу застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванай адносіне k,

$k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}.$

Гэта дае поўную вытворную адносна r:

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}$

Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.