Ураўненне Паўлі: Розніца паміж версіямі
[недагледжаная версія] | [недагледжаная версія] |
Няма тлумачэння праўкі |
Няма тлумачэння праўкі |
||
Радок 1: | Радок 1: | ||
{{Квантавая механіка}} |
{{Квантавая механіка}} |
||
'' 'Раўнанне Паўлі' '' - раўнанне нерэлятывісцкай [[ квантавая механіка| квантавай механікі]], якое апісвае рух [[Зарад электрычны | зараджанай]] часціцы са [[спін]] 1/2 |
'' 'Раўнанне Паўлі' '' - раўнанне нерэлятывісцкай [[ квантавая механіка| квантавай механікі]], якое апісвае рух [[Зарад электрычны | зараджанай]] часціцы са [[спін]]ам 1/2 (напрыклад, [[электрон]]а) у вонкавым [[Электрамагнітнае поле | электрамагнітным поле]]. Прапанавана [[Паўлі, Вольфганг | Паўлі]] у склад [[1927 год]]у. Не блытаць з [[асноўнае кінетычныя раўнанне | асноўным кінэтычным раўнаннем]], таксама часам званым раўнаннем Паўлі. |
||
Раўнанне Паўлі з'яўляецца абагульненнем [[ |
Раўнанне Паўлі з'яўляецца абагульненнем [[ураўненне Шродзінгера | ураўнення Шродзінгера]], якія ўлічваюць наяўнасць у часціцы ўласнай механічнага моманту імпульсу - спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і -1/2 на некаторы (адвольна выбраны) накірунак, якое прымаецца звычайна за вось '' z ''. У адпаведнасці з гэтым [[хвалевая функцыя]] часціцы <math>\psi (r,t)</math> (Дзе '' г '' - [[каардыната]] часціцы, '' t '' - [[час]]) з'яўляецца дзвухкампанентнай: |
||
: <math> |
: <math> |
||
\psi (r,t)=\begin{pmatrix} |
\psi (r,t)=\begin{pmatrix} |
||
Радок 9: | Радок 9: | ||
\end{pmatrix}. |
\end{pmatrix}. |
||
</math> |
</math> |
||
Пры паваротах каардынатных восяў <math>\psi_1</math> i <math>\psi_2</math> пераўтворацца як кампаненты [[ |
Пры паваротах каардынатных восяў <math>\psi_1</math> i <math>\psi_2</math> пераўтворацца як кампаненты [[спінор]]а. У прасторы спінорных хвалевых функцый скалярны твор <math>\psi</math> i <math>\psi'</math> мае выгляд |
||
: <math> ( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr, </math> |
: <math> ( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr, </math> |
||
Аператары фізічных велічынь з'яўляюцца матрыцамі 2х2, якія для велічынь (назіраных), не якія залежаць ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы. |
Аператары фізічных велічынь з'яўляюцца матрыцамі 2х2, якія для велічынь (назіраных), не якія залежаць ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы. |
||
У сілу агульных законаў [[Электрадынаміка | электрадынамікі]] |
У сілу агульных законаў [[Электрадынаміка | электрадынамікі]] электрычна зараджаная сістэма з выдатным ад нуля спінавым момантам <math> \vec{s} </math> валодае і [[Магнітны момант | магнітным момантам]], прапарцыйным <math> \vec{s} </math>: <math> \vec{ \mu}=g \vec{s} </math> (g - [[гірамагнітное стаўленне]]). Для арбітальнага моманту <math>g={e \over 2mc}</math>, дзе е - зарад, m - маса часціцы; спінавай гиромагнитное стаўленне аказваецца ў два разы большым: <math>g={e \over mc}</math>. У вонкавым магнітным полі напружанасці <math> \vec{B} </math> магнітны момант валодае патэнцыйнай энергіяй <math> U=- \vec{ \mu}\ \vec{B} </math>, даданне якой у гамильтониан H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі <math> \phi </math> і прыводзіць да раўнанні Паўлі: |
||
: <math>i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi </math> |
: <math>i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi </math> |
||
дзе <math> \hat p</math> - аператар імпульсу, <math>\hat I</math> - адзінкавы аператар, а <math>\hat \sigma</math> прапарцыйны аператару спіна: <math>\hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma</math>. |
дзе <math> \hat p</math> - аператар імпульсу, <math>\hat I</math> - адзінкавы аператар, а <math>\hat \sigma</math> прапарцыйны аператару спіна: <math>\hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma</math>. |
||
Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў раўнанне Паўлі аказалася натуральным следствам |
Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў раўнанне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцка-інварыянтнага [[Раўнанне Дзірака | раўнання Дзірака]] ў слабарэлятівістскім набліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены расклада па зваротным ступеняў хуткасці святла. |
||
Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то |
Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд <math> \psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t)</math>, дзе <math> \Phi (r,t)</math> - скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца раўнанню Шродзінгера, а спінор <math> |
||
\chi= |
\chi= |
||
\begin{pmatrix} |
\begin{pmatrix} |
||
Радок 23: | Радок 23: | ||
\chi_2 |
\chi_2 |
||
\end{pmatrix} |
\end{pmatrix} |
||
</math> задавальняе |
</math> задавальняе раўнанню |
||
: <math>i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi. </math> |
: <math>i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi. </math> |
||
З гэтага раўнання варта, што сярэдняе значэнне спіна <math> \lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi ) </math> |
З гэтага раўнання варта, што сярэдняе значэнне спіна <math> \lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi ) </math> прэцэсірует вакол |
||
напрамка магнітнага поля: |
|||
: <math> \frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang]. </math> |
: <math> \frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang]. </math> |
||
Тут <math> \omega_B = {eB \over mc} </math> - [[цыклатрон частата]], <math> \vec{n} </math> - адзінкавы вектар |
Тут <math> \omega_B = {eB \over mc} </math> - [[цыклатрон частата]], <math> \vec{n} </math> - адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля. |
||
На аснове |
На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне узроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна ([[эфект Зеемана]]). Аднак больш тонкія рэлятывісцкі эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па зваротным ступеняў хуткасці святла. |
||
== Літаратура == |
== Літаратура == |
||
* Блохинцев Д. І. Асновы квантавай механікі. - 5-е выд. - М.: Навука, 1976. -. 664 с, 62 параграф. |
* Блохинцев Д. І. Асновы квантавай механікі. - 5-е выд. - М.: Навука, 1976. -. 664 с, 62 параграф. |
||
* Давыдаў А. С. Квантавая механіка. - 2-е выд. - М.: Навука, 1973. -. 704 с, 63 параграф. |
* Давыдаў А. С. Квантавая механіка. - 2-е выд. - М.: Навука, 1973. -. 704 с, 63 параграф. |
||
* Паўлі В. Агульныя прынцыпы хвалевай механікі. - М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 332 с. |
* Паўлі В. Агульныя прынцыпы хвалевай механікі. - М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 332 с. |
||
* |
* Ландау Л.Д., Ліфшыц Е.М.: Квантавая электрадынаміка, 2002 |
||
* Фізічная энцыклапедыя / Гл. рэд. А. М. Прохараў. Рэд. кол. Д. М. Аляксееў, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевіча, А. С. Баравік-Раманаў і інш. - М.: Вялікая Расійская Энцыклапедыя. Т.3 Магнитоплазменный - Пойнтинга тэарэма. 1992. - 672 с. |
* Фізічная энцыклапедыя / Гл. рэд. А. М. Прохараў. Рэд. кол. Д. М. Аляксееў, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевіча, А. С. Баравік-Раманаў і інш. - М.: Вялікая Расійская Энцыклапедыя. Т.3 Магнитоплазменный - Пойнтинга тэарэма. 1992. - 672 с. |
||
Версія ад 00:34, 15 снежня 2016
'Раўнанне Паўлі' - раўнанне нерэлятывісцкай квантавай механікі, якое апісвае рух зараджанай часціцы са спінам 1/2 (напрыклад, электрона) у вонкавым электрамагнітным поле. Прапанавана Паўлі у склад 1927 году. Не блытаць з асноўным кінэтычным раўнаннем, таксама часам званым раўнаннем Паўлі.
Раўнанне Паўлі з'яўляецца абагульненнем ураўнення Шродзінгера, якія ўлічваюць наяўнасць у часціцы ўласнай механічнага моманту імпульсу - спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і -1/2 на некаторы (адвольна выбраны) накірунак, якое прымаецца звычайна за вось z . У адпаведнасці з гэтым хвалевая функцыя часціцы (Дзе г - каардыната часціцы, t - час) з'яўляецца дзвухкампанентнай:
Пры паваротах каардынатных восяў i пераўтворацца як кампаненты спінора. У прасторы спінорных хвалевых функцый скалярны твор i мае выгляд
Аператары фізічных велічынь з'яўляюцца матрыцамі 2х2, якія для велічынь (назіраных), не якія залежаць ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.
У сілу агульных законаў электрадынамікі электрычна зараджаная сістэма з выдатным ад нуля спінавым момантам валодае і магнітным момантам, прапарцыйным : (g - гірамагнітное стаўленне). Для арбітальнага моманту , дзе е - зарад, m - маса часціцы; спінавай гиромагнитное стаўленне аказваецца ў два разы большым: . У вонкавым магнітным полі напружанасці магнітны момант валодае патэнцыйнай энергіяй , даданне якой у гамильтониан H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі і прыводзіць да раўнанні Паўлі:
дзе - аператар імпульсу, - адзінкавы аператар, а прапарцыйны аператару спіна: . Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў раўнанне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцка-інварыянтнага раўнання Дзірака ў слабарэлятівістскім набліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены расклада па зваротным ступеняў хуткасці святла. Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд , дзе - скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца раўнанню Шродзінгера, а спінор задавальняе раўнанню
З гэтага раўнання варта, што сярэдняе значэнне спіна прэцэсірует вакол напрамка магнітнага поля:
Тут - цыклатрон частата, - адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля. На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне узроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна (эфект Зеемана). Аднак больш тонкія рэлятывісцкі эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па зваротным ступеняў хуткасці святла.
Літаратура
- Блохинцев Д. І. Асновы квантавай механікі. - 5-е выд. - М.: Навука, 1976. -. 664 с, 62 параграф.
- Давыдаў А. С. Квантавая механіка. - 2-е выд. - М.: Навука, 1973. -. 704 с, 63 параграф.
- Паўлі В. Агульныя прынцыпы хвалевай механікі. - М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 332 с.
- Ландау Л.Д., Ліфшыц Е.М.: Квантавая электрадынаміка, 2002
- Фізічная энцыклапедыя / Гл. рэд. А. М. Прохараў. Рэд. кол. Д. М. Аляксееў, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевіча, А. С. Баравік-Раманаў і інш. - М.: Вялікая Расійская Энцыклапедыя. Т.3 Магнитоплазменный - Пойнтинга тэарэма. 1992. - 672 с.
Глядзі таксама
Для паляпшэння артыкула пажадана: |