Ураўненне Паўлі: Розніца паміж версіямі

З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
[недагледжаная версія][недагледжаная версія]
Змесціва выдалена Змесціва дададзена
Teralex (размовы | уклад)
Няма тлумачэння праўкі
Teralex (размовы | уклад)
Няма тлумачэння праўкі
Радок 1: Радок 1:
{{Квантавая механіка}}
{{Квантавая механіка}}
'' 'Раўнанне Паўлі' '' - раўнанне нерэлятывісцкай [[ квантавая механіка| квантавай механікі]], якое апісвае рух [[Зарад электрычны | зараджанай]] часціцы са [[спін]] 1/2 ым (напрыклад, [[электрон]] а) у вонкавым [[Электрамагнітнае поле | электрамагнітным поле]]. Прапанавана [[Паўлі, Вольфганг | Паўлі]] у склад [[1927 год]] у. Не блытаць з [[асноўнае кінетычныя раўнанне | асноўным кінэтычным раўнаннем]], таксама часам званым раўнаннем Паўлі.
'' 'Раўнанне Паўлі' '' - раўнанне нерэлятывісцкай [[ квантавая механіка| квантавай механікі]], якое апісвае рух [[Зарад электрычны | зараджанай]] часціцы са [[спін]]ам 1/2 (напрыклад, [[электрон]]а) у вонкавым [[Электрамагнітнае поле | электрамагнітным поле]]. Прапанавана [[Паўлі, Вольфганг | Паўлі]] у склад [[1927 год]]у. Не блытаць з [[асноўнае кінетычныя раўнанне | асноўным кінэтычным раўнаннем]], таксама часам званым раўнаннем Паўлі.


Раўнанне Паўлі з'яўляецца абагульненнем [[раўнанне Шрёдзінгера | ўраўненні Шрёдзінгера]], якія ўлічваюць наяўнасць у часціцы ўласнай механічнага моманту імпульсу - спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і -1/2 на некаторы (адвольна выбраны) накірунак, якое прымаецца звычайна за вось '' z ''. У адпаведнасці з гэтым [[хвалевая функцыя]] часціцы <math>\psi (r,t)</math> (Дзе '' г '' - [[каардыната]] часціцы, '' t '' - [[час]]) з'яўляецца двухкампанентнай:
Раўнанне Паўлі з'яўляецца абагульненнем [[ураўненне Шродзінгера | ураўнення Шродзінгера]], якія ўлічваюць наяўнасць у часціцы ўласнай механічнага моманту імпульсу - спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і -1/2 на некаторы (адвольна выбраны) накірунак, якое прымаецца звычайна за вось '' z ''. У адпаведнасці з гэтым [[хвалевая функцыя]] часціцы <math>\psi (r,t)</math> (Дзе '' г '' - [[каардыната]] часціцы, '' t '' - [[час]]) з'яўляецца дзвухкампанентнай:
: <math>
: <math>
\psi (r,t)=\begin{pmatrix}
\psi (r,t)=\begin{pmatrix}
Радок 9: Радок 9:
\end{pmatrix}.
\end{pmatrix}.
</math>
</math>
Пры паваротах каардынатных восяў <math>\psi_1</math> i <math>\psi_2</math> пераўтворацца як кампаненты [[спинор]] а. У прасторы спинорных хвалевых функцый скалярны твор <math>\psi</math> i <math>\psi'</math> мае выгляд
Пры паваротах каардынатных восяў <math>\psi_1</math> i <math>\psi_2</math> пераўтворацца як кампаненты [[спінор]]а. У прасторы спінорных хвалевых функцый скалярны твор <math>\psi</math> i <math>\psi'</math> мае выгляд
: <math> ( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr, </math>
: <math> ( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr, </math>
Аператары фізічных велічынь з'яўляюцца матрыцамі 2х2, якія для велічынь (назіраных), не якія залежаць ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.
Аператары фізічных велічынь з'яўляюцца матрыцамі 2х2, якія для велічынь (назіраных), не якія залежаць ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.


У сілу агульных законаў [[Электрадынаміка | электрадынамікі]] электрічным зараджаная сістэма з выдатным ад нуля спінавай момантам <math> \vec{s} </math> валодае і [[Магнітны момант | магнітным момантам]], прапарцыйным <math> \vec{s} </math>: <math> \vec{ \mu}=g \vec{s} </math> (g - [[гиромагнитное стаўленне]]). Для арбітальнага моманту <math>g={e \over 2mc}</math>, дзе е - зарад, m - маса часціцы; спінавай гиромагнитное стаўленне аказваецца ў два разы большым: <math>g={e \over mc}</math>. У вонкавым магнітным полі напружанасці <math> \vec{B} </math> магнітны момант валодае патэнцыйнай энергіяй <math> U=- \vec{ \mu}\ \vec{B} </math>, даданне якой у гамильтониан H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі <math> \phi </math> і прыводзіць да раўнанні Паўлі:
У сілу агульных законаў [[Электрадынаміка | электрадынамікі]] электрычна зараджаная сістэма з выдатным ад нуля спінавым момантам <math> \vec{s} </math> валодае і [[Магнітны момант | магнітным момантам]], прапарцыйным <math> \vec{s} </math>: <math> \vec{ \mu}=g \vec{s} </math> (g - [[гірамагнітное стаўленне]]). Для арбітальнага моманту <math>g={e \over 2mc}</math>, дзе е - зарад, m - маса часціцы; спінавай гиромагнитное стаўленне аказваецца ў два разы большым: <math>g={e \over mc}</math>. У вонкавым магнітным полі напружанасці <math> \vec{B} </math> магнітны момант валодае патэнцыйнай энергіяй <math> U=- \vec{ \mu}\ \vec{B} </math>, даданне якой у гамильтониан H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі <math> \phi </math> і прыводзіць да раўнанні Паўлі:
: <math>i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi </math>
: <math>i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi </math>
дзе <math> \hat p</math> - аператар імпульсу, <math>\hat I</math> - адзінкавы аператар, а <math>\hat \sigma</math> прапарцыйны аператару спіна: <math>\hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma</math>.
дзе <math> \hat p</math> - аператар імпульсу, <math>\hat I</math> - адзінкавы аператар, а <math>\hat \sigma</math> прапарцыйны аператару спіна: <math>\hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma</math>.
Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў раўнанне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцкіх-інварыянтнай [[Раўнанне Дирака | ўраўненні Дирака]] ў слаборелятивистском набліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены раскладання па зваротным ступеняў хуткасці святла.
Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў раўнанне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцка-інварыянтнага [[Раўнанне Дзірака | раўнання Дзірака]] ў слабарэлятівістскім набліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены расклада па зваротным ступеняў хуткасці святла.
Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальнае рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд <math> \psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t)</math>, дзе <math> \Phi (r,t)</math> - скалярнага функцыя, якая падпарадкоўваецца раўнанню Шрёдингера, а спинор <math>
Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд <math> \psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t)</math>, дзе <math> \Phi (r,t)</math> - скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца раўнанню Шродзінгера, а спінор <math>
\chi=
\chi=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
Радок 23: Радок 23:
\chi_2
\chi_2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math> задавальняе раўнанні
</math> задавальняе раўнанню
: <math>i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi. </math>
: <math>i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi. </math>
З гэтага раўнання варта, што сярэдняе значэнне спіна <math> \lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi ) </math> прецессирует вакол
З гэтага раўнання варта, што сярэдняе значэнне спіна <math> \lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi ) </math> прэцэсірует вакол
напрамкі магнітнага поля:
напрамка магнітнага поля:
: <math> \frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang]. </math>
: <math> \frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang]. </math>
Тут <math> \omega_B = {eB \over mc} </math> - [[цыклатрон частата]], <math> \vec{n} </math> - адзінкавы вектар ўздоўж магнітнага поля.
Тут <math> \omega_B = {eB \over mc} </math> - [[цыклатрон частата]], <math> \vec{n} </math> - адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля.
На аснове ўраўненні Паўлі можа быць разлічана расшчапленне узроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна ([[эфект Зеемана]]). Аднак больш тонкія рэлятывісцкі эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўненні Дирака па зваротным ступеняў хуткасці святла.
На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне узроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна ([[эфект Зеемана]]). Аднак больш тонкія рэлятывісцкі эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па зваротным ступеняў хуткасці святла.
== Літаратура ==
== Літаратура ==
* Блохинцев Д. І. Асновы квантавай механікі. - 5-е выд. - М.: Навука, 1976. -. 664 с, 62 параграф.
* Блохинцев Д. І. Асновы квантавай механікі. - 5-е выд. - М.: Навука, 1976. -. 664 с, 62 параграф.
* Давыдаў А. С. Квантавая механіка. - 2-е выд. - М.: Навука, 1973. -. 704 с, 63 параграф.
* Давыдаў А. С. Квантавая механіка. - 2-е выд. - М.: Навука, 1973. -. 704 с, 63 параграф.
* Паўлі В. Агульныя прынцыпы хвалевай механікі. - М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 332 с.
* Паўлі В. Агульныя прынцыпы хвалевай механікі. - М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 332 с.
* {{Кніга: Ландау Л.Д., Ліфшыц Е.М.: Квантавая электрадынаміка | 2002}}
* Ландау Л.Д., Ліфшыц Е.М.: Квантавая электрадынаміка, 2002
* Фізічная энцыклапедыя / Гл. рэд. А. М. Прохараў. Рэд. кол. Д. М. Аляксееў, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевіча, А. С. Баравік-Раманаў і інш. - М.: Вялікая Расійская Энцыклапедыя. Т.3 Магнитоплазменный - Пойнтинга тэарэма. 1992. - 672 с.
* Фізічная энцыклапедыя / Гл. рэд. А. М. Прохараў. Рэд. кол. Д. М. Аляксееў, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевіча, А. С. Баравік-Раманаў і інш. - М.: Вялікая Расійская Энцыклапедыя. Т.3 Магнитоплазменный - Пойнтинга тэарэма. 1992. - 672 с.



Версія ад 00:34, 15 снежня 2016

Квантавая механіка

Прынцып нявызначанасці Гейзенберга
Уводзіны
Матэматычныя асновы

'Раўнанне Паўлі' - раўнанне нерэлятывісцкай квантавай механікі, якое апісвае рух зараджанай часціцы са спінам 1/2 (напрыклад, электрона) у вонкавым электрамагнітным поле. Прапанавана Паўлі у склад 1927 году. Не блытаць з асноўным кінэтычным раўнаннем, таксама часам званым раўнаннем Паўлі.

Раўнанне Паўлі з'яўляецца абагульненнем ураўнення Шродзінгера, якія ўлічваюць наяўнасць у часціцы ўласнай механічнага моманту імпульсу - спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і -1/2 на некаторы (адвольна выбраны) накірунак, якое прымаецца звычайна за вось z . У адпаведнасці з гэтым хвалевая функцыя часціцы (Дзе г - каардыната часціцы, t - час) з'яўляецца дзвухкампанентнай:

Пры паваротах каардынатных восяў i пераўтворацца як кампаненты спінора. У прасторы спінорных хвалевых функцый скалярны твор i мае выгляд

Аператары фізічных велічынь з'яўляюцца матрыцамі 2х2, якія для велічынь (назіраных), не якія залежаць ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.

У сілу агульных законаў электрадынамікі электрычна зараджаная сістэма з выдатным ад нуля спінавым момантам валодае і магнітным момантам, прапарцыйным : (g - гірамагнітное стаўленне). Для арбітальнага моманту , дзе е - зарад, m - маса часціцы; спінавай гиромагнитное стаўленне аказваецца ў два разы большым: . У вонкавым магнітным полі напружанасці магнітны момант валодае патэнцыйнай энергіяй , даданне якой у гамильтониан H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі і прыводзіць да раўнанні Паўлі:

дзе - аператар імпульсу, - адзінкавы аператар, а прапарцыйны аператару спіна: . Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў раўнанне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцка-інварыянтнага раўнання Дзірака ў слабарэлятівістскім набліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены расклада па зваротным ступеняў хуткасці святла. Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд , дзе - скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца раўнанню Шродзінгера, а спінор задавальняе раўнанню

З гэтага раўнання варта, што сярэдняе значэнне спіна прэцэсірует вакол напрамка магнітнага поля:

Тут - цыклатрон частата, - адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля. На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне узроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна (эфект Зеемана). Аднак больш тонкія рэлятывісцкі эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па зваротным ступеняў хуткасці святла.

Літаратура

  • Блохинцев Д. І. Асновы квантавай механікі. - 5-е выд. - М.: Навука, 1976. -. 664 с, 62 параграф.
  • Давыдаў А. С. Квантавая механіка. - 2-е выд. - М.: Навука, 1973. -. 704 с, 63 параграф.
  • Паўлі В. Агульныя прынцыпы хвалевай механікі. - М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 332 с.
  • Ландау Л.Д., Ліфшыц Е.М.: Квантавая электрадынаміка, 2002
  • Фізічная энцыклапедыя / Гл. рэд. А. М. Прохараў. Рэд. кол. Д. М. Аляксееў, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевіча, А. С. Баравік-Раманаў і інш. - М.: Вялікая Расійская Энцыклапедыя. Т.3 Магнитоплазменный - Пойнтинга тэарэма. 1992. - 672 с.

Глядзі таксама

Шаблон:Phys-stub