Даўжыня крывой

Даўжынёй крывой у метрычнай прасторы $(X,\rho )$ завецца варыяцыя задавалага крывую адлюстравання, г.з. даўжыня крывой $\gamma :[a,b]\to X$ ёсць велічыня роўная:

$\sup \limits _{P}\sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k}))$,

дзе дакладная верхняя грань бярэцца па ўсіх разбіццях $P$ адрэзка $[a,b]$.

Звязаныя азначэнні

Калі даўжыня канчатковая, то кажуць, што крывая выпрастальная, у адваротным выпадку неспрамляемая.

Формулы

Калі крывая класа $C^{1}$ у $\mathbb {R} ^{n}$, то яе даўжыня роўная:

• Увогуле выпадку $\mathbb {R} ^{n}$ — $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}\left(f'_{k}(t)\right)^{2}}}\,dt$.
• У $\mathbb {R} ^{3}$ — $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt$.
• Калі крывая зададзеная ў $\mathbb {R} ^{2}$ як f(x), то даўжыня роўная $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx$.