Ураўненне Паўлі

Квантавая механіка

$\Delta x\cdot \Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}$

Прынцып нявызначанасці Гейзенберга

Уводзіны Матэматычныя асновы Аснова Класічная механіка · Інтэрферэнцыя · Бра і кет · Гамільтаніян · Старая квантавая тэорыя Фундаментальныя паняцці Квантавы стан · Квантавая назіраемая · Хвалевая функцыя · Квантавая суперпазіцыя · Квантавая счэпленасць · Змяшаны стан · Вымярэнне · Нявызначанасць · Прынцып Паўлі · Дуалізм · Дэкагерэнцыя · Тэарэма Эрэнфеста · Тунэльны эфект Эксперыменты Вопыт Дэвісана — Джэрмера · Вопыт Попера · Вопыт Штэрна — Герлаха · Вопыт Юнга · Праверка няроўнасцей Бела · Фотаэфект · Эфект Комптана Фармулёўкі Прадстаўленне Шродзінгера · Прадстаўленне Гейзенберга · Прадстаўленне ўзаемадзеяння · Матрычная квантавая механіка · Інтэгралы па траекторыях · Дыяграмы Фейнмана Ураўненні Ураўненне Шродзінгера · Ураўненне Паўлі · Ураўненне Клейна — Гордана · Ураўненне Дзірака · Ураўненне фон Неймана · Ураўненне Блоха · Ураўненне Ліндблада · Ураўненне Гейзенберга Інтэрпрэтацыі Капенгагенская інтэрпрэтацыя · Тэорыя схаваных параметраў · Шматсусветная Развіццё тэорыі Квантавая тэорыя поля · Квантавая электрадынаміка · Квантавая хромадынаміка · Квантавая гравітацыя Складаныя тэмы Квантавая тэорыя поля · Квантавая гравітацыя · Тэорыя ўсяго Вядомыя вучоныя Планк · Эйнштэйн · Шродзінгер · Гейзенберг · Ёрдан · Бор · Паўлі · Дзірак · Фок · Борн · дэ Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверэт

Ураўненне Паўлі — ураўненне нерэлятывісцкай квантавай механікі, якое апісвае рух зараджанай часціцы са спінам 1/2 (напрыклад, электрона) у вонкавым электрамагнітным полі. Прапанавана Вольфгангам Паўлі ў 1927 годзе. Не блытаць з асноўным кінетычным ураўненнем, таксама часам званым ураўненнем Паўлі.

Ураўненне Паўлі з’яўляецца абагульненнем ураўнення Шродзінгера, якое ўлічвае наяўнасць у часціцы ўласнага механічнага моманту імпульсу — спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і −1/2 на некаторы (адвольна выбраны) кірунак, якое прымаецца звычайна за вось z. У адпаведнасці з гэтым хвалевая функцыя часціцы $\psi (r,t)$ (дзе r — каардыната часціцы, t — час) з’яўляецца дзвюхкампанентнай:

$\psi (r,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(r,t)\\\psi _{2}(r,t)\end{pmatrix}}.$

Пры паваротах каардынатных восяў $\psi _{1}$ i $\psi _{2}$ пераўтворацца як кампаненты спінара. У прасторы спінарных хвалевых функцый скалярны здабытак $\psi$ i $\psi '$ мае выгляд

$(\psi ',\psi )=\int (\psi '_{1}\psi _{1}+\psi '_{2}\psi _{2})dr,$

Аператары фізічных велічынь з’яўляюцца матрыцамі 2×2, якія для велічынь (назіраных), незалежных ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.

У сілу агульных законаў электрадынамікі электрычна зараджаная сістэма з адрозным ад нуля спінавым момантам ${\vec {s}}$ валодае і магнітным момантам, прапарцыйным ${\vec {s}}$: ${\vec {\mu }}=g{\vec {s}}$ (g — гірамагнітныя адносіны). Для арбітальнага моманту $g={e \over 2mc}$, дзе е — зарад, m — маса часціцы; спінавыя гірамагнітныя адносіны аказваюцца ў два разы большымі: $g={e \over mc}$. У вонкавым магнітным полі напружанасці ${\vec {B}}$ магнітны момант валодае патэнцыйнай энергіяй $U=-{\vec {\mu }}\ {\vec {B}}$, даданне якой у гамільтаніян H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі $\phi$ і A прыводзіць да ўраўнення Паўлі:

$i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H}}}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {p}}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\sigma }}{\vec {B}})\right]\psi$

дзе ${\hat {p}}$ — аператар імпульсу, ${\hat {I}}$ — адзінкавы аператар, а ${\hat {\sigma }}$ прапарцыйны аператару спіна: ${\hat {s}}={\hbar \over 2}{\hat {\sigma }}$.

Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў ураўненне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцка-інварыянтнага ураўнення Дзірака ў слабарэлятывісцкім набліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены раскладання па зваротным ступеням хуткасці святла. Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд $\psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)$, дзе $\Phi (r,t)$ — скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца ураўненню Шродзінгера, а спінар $\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\end{pmatrix}}$ задавальняе ураўненню

$i\hbar {\partial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B}})\chi .$

З гэтага ураўнення вынікае, што сярэдняе значэнне спіна $\langle s\rangle =~{\hbar \over 2}(\chi +\sigma \chi )$ прэцэсіруе вакол напрамку магнітнага поля:

${\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega _{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle ].$

Тут $\omega _{B}={eB \over mc}$ — цыклатронная частата, ${\vec {n}}$ — адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля. На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне узроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна (эфект Зеемана). Аднак больш тонкія рэлятывісцкія эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па зваротным ступеням хуткасці святла.

Літаратура

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63.
• Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Квантовая электродинамика, 2002.
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с.

Гл. таксама

• Ураўненне Дзірака
• Ураўненне Шродзінгера