Акружнасць Апалонія

${\frac {d_{1}}{d_{2}}}={\textrm {const}}$

Акружнасці Апалонія. Кожная блакітная акружнасць перасякае кожную чырвоную пад прамым вуглом. Кожная чырвоная акружнасць праходзіць праз два пункты (C і D) і кожная блакітная акружнасць акружае толькі адзін з гэтых пунктаў

Акружнасць Апалонія — геаметрычнае месца пунктаў плоскасці, адносіны адлегласцей ад якіх да двух зададзеных пунктаў — велічыня пастаянная, не роўная адзінцы.

Біпалярныя каардынаты — артаганальная сістэма каардынат на плоскасці, заснаваная на кругах Апалонія.

Няхай на плоскасці дадзены два пункты $A$ і $B$. Разгледзім усе пункты $P$ гэтай плоскасці, для кожнага з якіх

${\frac {|PA|}{|PB|}}=k$,

дзе $k$ — фіксаваны дадатны лік. Пры $k=1$ гэтыя пункты запаўняюць сярэдзінны перпендыкуляр да адрэзка $AB$; у астатніх выпадках дадзенае геаметрычнае месца — акружнасць, якая называецца акружнасцю Апалонія.

Крывая пастаяннай рознасці адлегласцей паміж двума пунктамі — гіпербала, пастаяннай сумы — эліпс, пастаяннага здабытку — авал Касіні.

Уласцівасці

• Радыус акружнасці Апалонія роўны $R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}|AB|.$
• Адрэзак $PC$ паміж пунктам на акружнасці і пунктам перасячэння акружнасці з прамой $AB$ з'яўляецца бісектрысай самога вугла $\angle APB$ ці вугла, сумежнага з ім.
• Цэнтр дадзенай акружнасці ляжыць на прамой, якая злучае гэтыя два пункты.

Дадаткі

• Адно з рашэнняў задачы Брахмагупты заснавана на пабудове акружнасці Апалонія.
• Акружнасць Апалонія знаходзіць прымяненне пры рашэнні задачы збліжэння на плоскасці з выкарыстаннем стратэгіі паралельнага збліжэння.

Гл. таксама

• Эліптычныя каардынаты