Бэта-функцыя

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Графік бэта-функцыі пры рэчаісных аргументах

У матэматыцы бэта-функцыяй (Β-функцыяй, бэта-функцыяй Эйлера або Эйлеравым інтэгралам I-га роду) называецца наступная спецыяльная функцыя ад двух зменных:

вызначаная пры

Бэта-функцыя была даследавана Эйлерам і Лежандрам, А назву ёй даў Жак Бінэ.

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Бэта-функцыя сіметрычная адносна перастаноўкі зменных, гэта значыць

Бэта-функцыю можна выразіць праз іншыя функцыі:

дзе гама-функцыя;

дзе — сыходны фактарыял, роўны

Як гама-функцыя для цэлых лікаў з'яўляецца абагульненнем фактарыяла, так і бэта-функцыя з'яўляецца абагульненнем бінаміяльных каэфіцыентаў з трохі змененымі параметрамі:

Вытворныя[правіць | правіць зыходнік]

Частковыя вытворныя у бэта-функцыі наступныя:

дзе дыгама-функцыя.

Няпоўная бэта-функцыя[правіць | правіць зыходнік]

Няпоўная бэта-функцыя — гэта абагульненне бэта-функцыі, якое замяняе інтэграл па адрэзку на інтэграл з пераменнай верхняй мяжой:

Пры няпоўная бэта-функцыя супадае з поўнай.

Рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя вызначаецца праз поўную і няпоўную бэта-функцыі:

Уласцівасці рэгулярызаванай няпоўнай бэта-функцыі[правіць | правіць зыходнік]

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Битюцков В. И. Бета-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.) — М.: Советская энциклопедия. — Т. 1.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]