Варыяцыйныя прынцыпы механікі

Класічная механіка

${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\vec {v}})$ Другі закон Ньютана

Гісторыя… Фундаментальныя паняцці Прастора · Час · Маса · Сіла Энергія · Імпульс Фармулёўкі Ньютанаўская механіка Лагранжава механіка Гамільтанава механіка Фармалізм Гамільтана — Якобі Раздзелы Прыкладная механіка Нябесная механіка Механіка суцэльных асяроддзяў Геаметрычная оптыка Статыстычная механіка Вучоныя Галілей · Кеплер · Ньютан Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер Лагранж · Гамільтан · Кашы

Варыяцы́йныя пры́нцыпы меха́нікі — матэматычныя суадносіны, якія вылучаюць сапраўдны рух ці стан механічнай сістэмы з усіх кінематычна магчымых (не забароненых накладзенымі на сістэму сувязямі). Выражаюцца роўнасцямі, куды ўваходзяць варыяцыі каардынат, скарасцей і паскарэнняў пунктаў сістэмы (гл. варыяцыйнае злічэнне).

Даюць магчымасць атрымаць ураўненні і заканамернасці руху (або стану раўнавагі) сістэмы з аднаго агульнага палажэння і вызначыць пэўныя фізічныя ўласцівасці, якія характарызуюць сапраўдны рух (або ўмовы раўнавагі) сістэмы.

Выкарыстоўваюцца ў механіцы суцэльных асяроддзяў, тэрмадынаміцы, электрадынаміцы, квантавай механіцы, тэорыі адноснасці і іншых. Складаюць метадалагічную аснову для пабудовы матэматычных мадэлей сістэм у электрадынаміцы, робататэхніцы, механіцы машын.

Варыяцыйныя прынцыпы механікі падзяляюцца на дыферэнцыяльныя і інтэгральныя. Дыферэнцыяльныя характарызуюць уласцівасці сапраўднага руху сістэмы ў кожны момант часу. Прыдатныя да сістэм з любымі галаномнымі і негаланомнымі сувязямі (гл. механічныя сувязі). Найбольш агульны прынцып статыкі несвабодных механічных сістэм — прынцып віртуальных (магчымых) перамяшчэнняў: для раўнавагі механічнай сістэмы з ідэальнымі сувязямі сума элементарных работ усіх актыўных сіл пры розных магчымых перамяшчэннях роўная нулю

$\sum _{k=1}^{n}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.$

Інтэгральныя варыяцыйныя прынцыпы механікі характарызуюць уласцівасці руху сістэмы за канечны прамежак часу і сцвярджаюць, што на сапраўдных траекторыях руху (у параўнанні з магчымымі) пэўныя фізічныя велічыні (напрыклад, энергія) дасягаюць экстрэмальных значэнняў (гл. прынцып найменшага дзеяння). Матэматычна запісваюцца як роўнасць нулю варыяцыі функцыянала ад некаторай функцыі, якая характарызуе энергію сістэмы.

Гл. таксама

• Лагранжава механіка
• Гамільтанава механіка

Літаратура

• Варыяцыйныя прынцыпы механікі // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 4: Варанецкі — Гальфстрым / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1997. — Т. 4. С. 20.
• Маркеев А. П. Теоретическая механика. М., 1990.
• Полак Л. С. Вариационные принципы механики. М., 1960.

Спасылкі

• Вариационные принципы механики — артыкул з Фізічнай энцыклапедыі