Гама-размеркаванне

Гама-размеркаванне

Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры	k > 0 форма θ > 0 маштаб	α > 0 форма β > 0 частата
Носьбіт функцыі	$x\in (0,\infty )$	$x\in (0,\infty )$
Шчыльнасць імавернасці	$f(x)={\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-x/\theta }$	$f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$
Функцыя размеркавання	$F(x)={\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$	$F(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\gamma (\alpha ,\beta x)$
Матэматычнае спадзяванне	$k\theta$	${\frac {\alpha }{\beta }}$
Медыяна	Няма аналітычнай формы	Няма аналітычнай формы
Мода	$(k-1)\theta$ для $k\geq 1,$ $0$ для $k<1$	${\frac {\alpha -1}{\beta }}$ для $\alpha \geq 1,$ $0$ для $\alpha <1$
Дысперсія	$k\theta ^{2}$	${\frac {\alpha }{\beta ^{2}}}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$	${\frac {2}{\sqrt {\alpha }}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\frac {6}{k}}$	${\frac {6}{\alpha }}$
Энтрапія	${\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\alpha &-\ln \beta +\ln \Gamma (\alpha )\\&+(1-\alpha )\psi (\alpha )\end{aligned}}$
Утваральная функцыя момантаў	$(1-\theta t)^{-k}$ для $t<{\frac {1}{\theta }}$	$\left(1-{\frac {t}{\beta }}\right)^{-\alpha }$ для $t<\beta$
Характарыстычная функцыя	$(1-\theta it)^{-k}$	$\left(1-{\frac {it}{\beta }}\right)^{-\alpha }$
Інфармацыя Фішэра	$I(k,\theta )={\begin{pmatrix}\psi ^{(1)}(k)&\theta ^{-1}\\\theta ^{-1}&k\theta ^{-2}\end{pmatrix}}$	$I(\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\psi ^{(1)}(\alpha )&-\beta ^{-1}\\-\beta ^{-1}&\alpha \beta ^{-2}\end{pmatrix}}$
Метад момантаў	$k={\frac {E[X]^{2}}{V[X]}}\quad \quad$ $\theta ={\frac {V[X]}{E[X]}}\quad \quad$	$\alpha ={\frac {E[X]^{2}}{V[X]}}$ $\beta ={\frac {E[X]}{V[X]}}$

Гама-размеркаванне — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей з двума параметрамі. Найчасцей ужываюцца два эквівалентныя спосабы параметрызацыі:

1. З каэфіцыентам формы $k$ і каэфіцыентам маштабу $\theta$.
2. З каэфіцыентам формы $\alpha =k$ і адваротным каэфіцыентам маштабу $\beta =1/\theta ,$ вядомым пад назвай каэфіцыент частаты.

У абедзвюх формах абодва параметры — дадатныя рэчаісныя лікі.

Параметрызацыя з $k$ і $\theta$ часта выкарыстоўваецца ў эканаметрыцы і іншых прыкладных абласцях, дзе з дапамогай гама-размеркавання мадэлююць час чакання.

Параметрызацыя праз $\alpha$ і $\beta$ распаўсюджана ў баесаўскай статыстыцы, дзе гама-размеркаванне грае ролю спалучанага апрыёрнага размеркавання для каэфіцыентаў частаты розных размеркаванняў, напрыклад $\lambda$ паказнікавага або пуасонавага размеркавання, або $\beta$ самога гама-размеркавання. Цесна звязанае з ім адваротнае гама-размеркаванне служыць спалучаным апрыёрным размеркаваннем для каэфіцыентаў маштабу, напрыклад для $\sigma ^{2}$ нармальнага размеркавання.

Азначэнне

Кажуць, што выпадковая велічыня мае гама-размеркаванне, калі яе шчыльнасць імавернасці задаецца формулай^:87

$f(x)={\begin{cases}{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}}$

дзе $\alpha$, $\beta$ — параметры размеркавання, $\Gamma (\alpha )$ — гама-функцыя $\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt.$

Можна паказаць, што інтэграл шчыльнасці імавернасці па ўсім $\mathbb {R}$ роўны 1:

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{+\infty }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}dx=$

$={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{\alpha -1}}{\beta ^{\alpha -1}}}e^{-t}{\frac {dt}{\beta }}={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{+\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt=1.$

Асобныя выпадкі

Паказнікавае размеркаванне

Паказнікавае размеркаванне — асобны выпадак гама-размеркавання, калі каэфіцыент формы роўны 1^:88. Яго шчыльнасць мае выгляд:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {\beta ^{1}}{\Gamma (1)}}x^{1-1}e^{-\beta x}=\beta e^{-\beta x},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}}$

Размеркаванне Эрланга

Калі каэфіцыент формы гама-размеркавання — натуральны лік, то яно завецца размеркаваннем Эрланга^:88. Шчыльнасць можна перапісаць, замяніўшы гама-функцыю на фактарыял, бо для натуральных лікаў $\Gamma (n)=(n-1)!\$:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {\beta ^{n}}{(n-1)!}}x^{n-1}e^{-\beta x},&x>0,\\0,&x\leq 0.\end{cases}}$

Размеркаванне хі-квадрат

Калі для гама-размеркавання прыняць каэфіцыент формы $\alpha =n/2$, дзе $n\in \mathbb {N}$, а каэфіцыент частаты $\beta =1/2$, атрымаем размеркаванне хі-квадрат з $n$ ступенямі свабоды і шчыльнасцю^:89

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}}x^{n/2-1}e^{-x/2},&x>0,\\0,&x\leq 0,\end{cases}}$