Гравітацыйная задача N цел

Гравітацыйная задача N цел з’яўляецца класічнай праблемай нябеснай механікі і гравітацыйнай дынамікі Ньютана.

Яна фармулюецца наступным чынам.

У пустаце знаходзіцца N матэрыяльных пунктаў, масы якіх m_i вядомыя. Няхай папарнае ўзаемадзеянне пунктаў падпарадкавана закону прыцягнення Ньютана, і хай сілы гравітацыі адытыўныя. Няхай вядомыя пачатковыя на момант часу t = 0 становішчы і скорасці кожнага пункта r_i|_t=0 = r_i0, v_i|_t=0 = v_i0. Трэба знайсці становішчы пунктаў для ўсіх наступных момантаў часу.

Матэматычная фармуліроўка гравітацыйнай задачы N цел

Эвалюцыя сістэмы N цел (матэрыяльных пунктаў) апісваецца наступнай сістэмай ураўненняў:

{\frac {d{\mathbf {r} }_{i}}{dt}}={\mathbf {v} }_{i},

{\frac {d{\mathbf {v} }_{i}}{dt}}=\sum \limits _{j\neq i}^{N}G\,m_{j}\,{\frac {{\mathbf {r} }_{j}-{\mathbf {r} }_{i}}{\left|{\mathbf {r} }_{j}-{\mathbf {r} }_{i}\right|^{3}}},

дзе $m_{i},\,{\mathbf {r} }_{i},\,{\mathbf {v} }_{i}$ — маса, радыус-вектар і скорасць і-га цела адпаведна, G — гравітацыйная пастаянная. Масы цел, а таксама палажэнні і скорасці ў пачатковы момант часу лічацца вядомымі. Неабходна знайсці палажэнні і скорасці ўсіх часціц у адвольны момант часу.

Аналітычнае рашэнне

Траекторыі двух цел з рознай масай, якія ўзаемадзейнічаюць між сабой.

Прыблізныя траекторыі трох аднолькавых цел, якія знаходзіліся ў вяршынях нераўнабедранага трохвугольніка і валодалі нулявымі пачатковымі скарасцямі

Выпадак адасобленага пункта N = 1 не з’яўляецца прадметам разгляду гравітацыйнай дынамікі. Паводзіны такога пункта апісваюцца першым законам Ньютана. Гравітацыйнае ўзаемадзеянне — гэта, як мінімум, парны акт.

Рашэннем задачы двух цел N = 2 з’яўляецца барыцэнтрычная сістэмная арбіта (не блытаць з палявой цэнтральнай арбітай Кеплера). У поўнай адпаведнасці з зыходнай пастаноўкай задачы, рашэнне задачы двух цел зусім не адчувальнае да нумарацыі пунктаў і суадносін іх мас. Палявая цэнтральная арбіта Кеплера ўзнікае гранічным пераходам m₁/m₂ → 0. Пры гэтым губляецца раўнапраўе пунктаў: m₂ прымаецца абсалютна нерухомым цэнтрам прыцягнення, а першы пункт «губляе» масу, — параметр m₁ выпадае з дынамічных ураўненняў. У матэматычным сэнсе сістэма, якая ўзнікае, — дэгенератыўная, бо колькасць ураўненняў і параметраў памяншаецца ў два разы. Таму зваротная асімптотыка становіцца немагчымай: з законаў Кеплера не вынікае закон прыцягнення Ньютана. (Варта ўлічыць, што масы наогул не згадваюцца ў законах Кеплера!)

Для задачы трох цел у 1912 Карлам Зундманам было атрымана агульнае аналітычнае рашэнне ў выглядзе радоў. Хоць гэтыя рады і сыходзяцца для любога моманту часу, з любымі пачатковымі ўмовамі, але сыходзяцца яны вельмі павольна^[1]. З-за вельмі павольнай збежнасці практычнае выкарыстанне радоў Зундмана немагчыма^[2]. Таксама для задачы трох цел Генрыхам Брунсам і Анры Пуанкарэ было паказана, што яе агульнае рашэнне нельга выразіць праз алгебраічныя або праз адназначныя трансцэндэнтныя функцыі каардынат і скарасцей^[2]. Акрамя таго, вядома толькі 5 дакладных рашэнняў задачы трох цел для спецыяльных пачатковых скарасцей і каардынат аб’ектаў.

На сённяшні дзень у агульным выглядзе задача N цел для N > 3 можа быць вырашана толькі лікава (гл. ніжэй). Прычым для N = 3 рады Зундмана нават пры сучасным узроўні камп’ютараў выкарыстаць практычна немагчыма.

Лікавыя метады

Са з’яўленнем камп’ютарнай тэхнікі з’явілася рэальная магчымасць вывучаць уласцівасці сістэм гравітуючых цел шляхам лікавага рашэння сістэмы ўраўненняў руху. Для гэтага выкарыстоўваецца часцей за ўсё метад Рунге — Куты (звычайна — чацвёртага парадку, але часта выкарыстоўваюцца і больш высокія парадкі).

Лікавыя метады сутыкаюцца з тымі ж праблемамі, што і аналітычныя: пры цесным збліжэнні цел неабходна памяншаць крок інтэгравання, а пры гэтым хутка растуць лікавыя памылкі. Акрамя таго, пры «прамым» інтэграванні колькасць вылічэнняў сілы для кожнага кроку расце з ростам колькасці цел прыблізна як $N^{2}$ , што робіць практычна немагчымым мадэляванне сістэм, якія складаюцца з дзясяткаў і соцень тысяч цел.

Для вырашэння гэтай праблемы прымяняюць наступныя алгарытмы (або іх камбінацыі):

Схема Ахмада-Коэна — прапаноўвае падзяліць сілу, якая дзейнічае на кожнае цела, на 2 часткі — ірэгулярную (ад блізкіх цел — «суседзяў») і рэгулярную (ад больш далёкіх цел). Адпаведна, рэгулярную сілу можна перавылічаць са значна большым крокам, чым ірэгулярную.
«Дрэўны алгарытм» (Treecode), упершыню рэалізаваны Джошуа Барнсам^[3].

Гл. таксама

Зноскі

↑ К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.
↑ ^а ^б А. П. Маркеев. Задача трёх тел и её точные решения Архівавана 11 лютага 2006. // Соросовский образовательный журнал Архівавана 30 лістапада 2007., № 9, 1999.
↑ Treecode — Software Distribution

[1] К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.

[Markeev-2] а ^б А. П. Маркеев. Задача трёх тел и её точные решения Архівавана 11 лютага 2006. // Соросовский образовательный журнал Архівавана 30 лістапада 2007., № 9, 1999.

[3] Treecode — Software Distribution

[1]

[2]

[3]