Група Лі

	Група, алгебра
Асноўныя паняцці
	Падгрупа; Нармальная падгрупа; Фактаргрупа ; (паў-)Прамы здабытак;
Тапалагічныя групы
	Група Лі; Артаганальная група O(n); Спецыяльная ўнітарная група SU(n); G2 F4 E6 E7 E8; Група Лорэнца; Група Пуанкарэ;

Групай Лі над полем $K$ ( $K=\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$ ) называецца група $G$ , забяспечаная структурай дыферэнцавальнай (гладкай) мнагастайнасці над $K$ такім чынам, што адлюстраванні $\operatorname {mul}$ і $\operatorname {inv}$ :

\operatorname {mul} :G\times G\to G;\quad \operatorname {mul} (x,y)=xy,

\operatorname {inv} :G\to G;\quad \operatorname {inv} x=x^{-1}

з'яўляюцца гладкімі (у выпадку поля $\mathbb {C}$ патрабуюць галаморфнасці уведзеных адлюстраванняў).

Усякая комплексная $n$ -мерная група Лі з'яўляецца рэчаіснай групай Лі размернасці $2n$ . Усякая камплексная група Лі па азначэнню з'яўляецца аналітычнай мнагастайнасцю, але і ў рэчаісным выпадку на любой групе Лі існуе аналітычны атлас, у якім адлюстраванні $\operatorname {mul}$ і $\operatorname {inv}$ запісваюцца аналітычнымі функцыямі.

Групы былі названы ў гонар Софуса Лі. Групы Лі натуральна ўзнікаюць пры разглядзе непарыўных сіметрый. Напрыклад, рухі плоскасці ўтвараюць групу Лі. Групы Лі з'яўляюцца ў сэнсе багацця структуры лепшымі з мнагастайнасцей і ў такой якасці вельмі важныя ў дыферэнцыяльнай геаметрыі і тапалогіі. Яны таксама іграюць значную ролю ў геаметрыі, фізіцы і матэматычным аналізе.

Тыпы груп Лі[правіць | правіць зыходнік]

Групы Лі класіфікуюцца па сваіх алгебраічных уласцівасцях (прастаце, паўпрастаце, вырашальнасці, нільпатэнтнасці, абелевасці), а таксама па тапалагічных уласцівасцях (звязнасці, адназвязнасці і кампактнасці).

Падгрупы Лі[правіць | правіць зыходнік]

Падгрупа $H$ групы Лі $G$ называецца яе падгрупай Лі, калі яна з'яўляецца падмнагастайнасцю ў мнагастайнасці $G$ , гэта значыць знойдзецца $m>0$ такое, што $H$ задаецца ў наваколлі кожнага свайго пункта $p$ сістэмай з $k$ функцый, якая мае ў $p$ ранг $m$ . Не ўсякая падгрупа з'яўляецца падгрупай Лі: напрыклад, падгрупа пар віду $(e^{ix},e^{i\pi x})$ у торы $\{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ не падгрупа Лі (яна дае усюды шчыльную абмотку тора). Падгрупа Лі заўсёды замкнутая. У рэчаісным выпадку справядліва і адваротнае: замкнутая падгрупа з'яўляецца падгрупай Лі. У камплексным выпадку гэта не так: бываюць рэчаісныя падгрупы Лі камплекснай групы Лі, якія маюць няцотную размернасць, напрыклад, унітарныя матрыцы ў групе абарачальных камплексных матрыц $2\times 2$ .

Хай $H$ — падгрупа Лі групы Лі $G$ . Мноства $G/H$ сумежных класаў (усё роўна, левых ці правых) можна адзіным чынам надзяліць структурай дыферэнцавальнай мнагастайнасці так, каб кананічная праекцыя была дыферэнцавальным адлюстраваннем. Пры гэтым атрымаецца лакальна трывіяльнае расслаенне, і калі $H$ — нармальная падгрупа, то фактаргруппа будзе групай Лі.

Дзеянні груп Лі[правіць | правіць зыходнік]

Групы Лі часта выступаюць як сіметрыі якой-небудзь структуры на некаторай мнагастайнасці, а таму натуральна, што вывучэнне дзеянняў груп Лі на розных мнагастайнасцях з'яўляецца важным раздзелам тэорыі. Кажуць, што група Лі G дзейнічае на гладкай мнагастайнасці M, калі зададзены гомамарфізм груп a: G → Diff M, дзе Diff M — група дыфеамарфізмаў M. Такім чынам, кожнаму элементу g групы G павінна адпавядаць дыфеаморфнае пераўтварэнне a_g мнагастайнасці M, прычым здабытку элементаў і ўзяццю адваротнага элемента адпавядаюць кампазіцыя дыфеамарфізмаў і адваротны дыфеамарфізм. Калі з кантэксту ясна, пра якое дзеянне ідзе гаворка, то вобраз a_g(m) пункта m пры дыфеамарфізме, які вызначаецца элементам g, абазначаецца проста gm.

Група Лі натуральна дзейнічае на сабе левымі і правымі зрухамі, а таксама спалучэннямі. Гэтыя дзеянні традыцыйна абазначаюцца l, r и a:

l_g(h) = gh,

r_g(h) = hg,

a_g(h) = ghg⁻¹.

Іншым прыкладам дзеяння з'яўляецца дзеянне групы Лі G на мностве сумежных класаў гэтай групы па якой-небудзь падгрупе Лі N ≤ G:

g (hN) = (gh)N,

Дзеянне групы Лі G на дыферэнцавальнай мнагастайнасці M называецца транзітыўным, калі любы пункт M можна перавесці ў любы іншы з дапамогай дзеяння некаторага элемента G. Мнагастайнасць, на якой зададзена транзітыўнае дзеянне групы Лі называецца аднароднай прасторай гэтай групы. Аднародныя прасторы адыгрываюць важную ролю ў многіх раздзелах геаметрыі. Аднародная прастора групы G дыфеаморфная G / st x, дзе st x — стабілізатар адвольнага пункта.

Алгебра Лі групы Лі[правіць | правіць зыходнік]

Са ўсякай групай Лі можна звязаць некаторую алгебру Лі, якая цалкам адлюстроўвае лакальную структуру групы, ва ўсякім выпадку, калі група Лі звязная.

Вектарнае поле на групе Лі G называецца леваінварыянтным, калі яно перастаўляльнае з левымі зрухамі, гэта значыць

V(l_g^* f) = l_g^* (Vf) для ўсіх g з G, і любой дыферэнцавальнай функцыі f.

Раўназначна,

dl_g (V_x) = V_gx для ўсіх x, g з G.

Відавочна, любое леваінварыянтнае вектарнае поле V на групе Лі цалкам вызначаецца сваім значэннем V_e ў адзінцы. Наадварот, задаўшы адвольны вектар V у датычнай прасторы G_e да адзінкі, можна разнесці яго левымі зрухамі па ўсёй групе. Атрымліваецца ўзаемна адназначная адпаведнасць паміж датычнай прасторай да групы ў адзінцы і прасторай леваінварыянтных вектарных палёў.

Дужка Лі [X,Y] леваінварыянтных вектарных палёў будзе леваінварыянтным вектарным полем. Таму G_e з'яўляецца алгебрай Лі. Гэтая алгебра называецца алгебрай Лі групы G. Звычайна яна абазначаецца адпаведнай малой гатычнай літарай.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995.
Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. — М.: ВИНИТИ. 1988.
Адамс Дж. Ф. Лекции по группам Ли, «Наука», 1979.
Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. — М.: Мир, 1976. — 496 с.
Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Глава IX. — М.: Мир, 1986. — 174 с.

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]