Гіпотэза Пуанкарэ

Задачы тысячагоддзя
Роўнасць класаў P і NP
Гіпотэза Ходжа
Гіпотэза Пуанкарэ
Гіпотэза Рымана
Квантавая тэорыя Янга — Мілса
Існаванне і гладкасць  рашэнняў ураўненняў Наўе — Стокса
Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера

Гіпо́тэза Пуанкарэ́ — адна з самых вядомых задач тапалогіі. Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохвымернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.

Фармулёўка

Гіпотэза Пуанкарэ

У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Усякая адназвязная кампактная трохмерная мнагастайнасць без краю гомеаморфная трохмернай сферы.

Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ

Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Для любога натуральнага ліку n усякая мнагастайнасць размернасці n гоматапічна эквівалентная сферы размернасці n тады і толькі тады, калі яна гомеаморфная ёй.

Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры n = 3.

Схема доказу

Паток Рычы — гэта пэўнае ўраўненне ў частковых вытворных, падобнае на ўраўненне цеплаправоднасці. Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць. Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку. Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць «хірургію» — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць дыфеаморфную прамому здабытку $(0,1)\times S^{2}$), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што метрыка атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй». Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак» дыфеаморфны сферычнай прасторавай форме.

Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці $M$ і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй. Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё. Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць $M$ можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм $S^{3}/\Gamma _{i}$, злучаных адна з адною трубкамі $[0,1]\times S^{2}$. Падлік фундаментальнае групы паказвае, што $M$ дыфеаморфная звязнай суме набору прасторавых форм $S^{3}/\Gamma _{i}$, і больш таго, усе $\Gamma _{i}$ трывіяльныя. Такім чынам, $M$ з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

Гісторыя

У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы. У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца сфераю Пуанкарэ, і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы. Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для n ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі Столінгсам (для n ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі n = 5 і 6 Зееманам). Доказ значна цяжэйшага выпадку n = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам. Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага Хамільтанам, які таксама першым прымяніў паток Рычы.

Прызнанне і ацэнкі

• Фрыдман (у 1986 годзе) і Перэльман (у 2006 годзе) сталі Філдсаўскімі лаўрэатамі.
• У 2006 годзе часопіс Science назваў доказ Перэльманам гіпотэзы Пуанкарэ навуковым «прарывам года» («Breakthrough of the Year»). Гэта першая праца па матэматыцы, якая заслужыла такое званне.
• У 2006 годзе Сільвія Назар апублікавала нашумелы артыкул «Manifold Destiny», які расказвае гісторыю доказу гіпотэзы Пуанкарэ.
• 18 сакавіка 2010 года Матэматычны інстытут Клэя прысудзіў Прэмію тысячагоддзя за доказ гіпотэзы Пуанкарэ Р. Я. Перэльману, але той адмовіўся яе браць.

Гл. таксама

• Адкрытыя матэматычныя праблемы
• Задачы тысячагоддзя

Літаратура

• Perelman, Grisha (November 11, 2002). "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications". arXiv:math.DG/0211159. {{cite arxiv}}: |class= ігнараваны (даведка)
• Perelman, Grisha (March 10, 2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds". arXiv:math.DG/0303109. {{cite arxiv}}: |class= ігнараваны (даведка)
• Perelman, Grisha (July 17, 2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds". arXiv:math.DG/0307245. {{cite arxiv}}: |class= ігнараваны (даведка)
• J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.)
• С. Николенко Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // Компьютерра. — 2006. — № 1-2.
• John W.Morgan, Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.)
• B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman's papers (англ.)
• Terence Tao Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)