Закон Архімеда

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Закон Архімеда — адзін з галоўных законаў гідрастатыкі і статыкі газаў.

Фармулёўка і тлумачэнні[правіць | правіць зыходнік]

Закон Архімеда фармулюецца наступным чынам[1]: на цела, пагружанае ў вадкасць, дзейнічае сіла, якая выштурхвае яго, роўная вазе выцесненай гэтым целам вадкасці (або газу). Сіла называецца сілай Архімеда:

Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): {F}_A = \rho {g} V,

дзе Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \rho

шчыльнасць вадкасці (газу), Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): {g}паскарэнне свабоднага падзення, а Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): V
— аб'ём пагружанага цела (або частка аб'ёму цела, якая знаходзіцца ніжэй паверхні). Калі цела плавае на паверхні або раўнамерна рухаецца уверх ці ўніз, то сіла (званая таксама архімедавай сілай) роўная па модулю (і процілеглая па напрамку) сіле цяжару, якая дзейнічала на выцеснены целам аб'ём вадкасці (газу), і прыкладзеная да цэнтра мас гэтага аб'ёму.
Цела плавае, калі сіла Архімеда ураўнаважвае сілу цяжару цела.

Варта заўважыць, што цела павінна быць цалкам акружана вадкасцю (альбо перасякацца з паверхняй вадкасці). Так, напрыклад, закон Архімеда нельга прымяніць да кубіка, які ляжыць на дне рэзервуара, герметычна дакранаючыся дна.

Што тычыцца цела, якое знаходзіцца ў газе, напрыклад у паветры, то для знаходжання пад'ёмнай сілы трэба замяніць шчыльнасць вадкасці на шчыльнасць газу. Напрыклад, шарык з геліем ляціць уверх з-за таго, што шчыльнасць гелію менш, чым шчыльнасць паветра.

Закон Архімеда можна растлумачыць пры дапамозе рознасці гідрастатычнага ціску на прыкладзе прастакутнага цела.

Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): P_B-P_A = \rho g h
Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): F_B-F_A = \rho g h S = \rho g V,

дзе PA, PB — ціскі ў пунктах A і B, ρ — шчыльнасць вадкасці, h — розніца узроўняў паміж пунктамі A і B, S — плошча гарызантальнага папярочнага сячэння цела, V — аб'ём пагружанай часткі цела.

У тэарэтычнай фізіцы таксама ўжываюць закон Архімеда ў інтэгральнай форме:

Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): {F}_A = \iint\limits_S{p {dS}}

, дзе Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): S

— плошча паверхні, Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): p
— ціск у адвольным пункце, інтэграванне вырабляецца па ўсёй паверхні цела.

У адсутнасць гравітацыйнага поля, гэта значыць у стане бязважкасці, закон Архімеда не працуе. Касманаўты з гэтай з'явай знаёмыя дастаткова добра. У прыватнасці, у бязважкасці адсутнічае з'ява (натуральнай) канвекцыі, таму, напрыклад, паветранае астуджэнне і вентыляцыя жылых адсекаў касмічных апаратаў вырабляюцца прымусова, вентылятарамі.

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Нейкі аналаг закона Архімеда справядлівы таксама ў любым поле сіл, якое па-рознаму дзейнічаюць на цела і на вадкасць (газ), альбо ў неаднастайным полі. Напрыклад, гэта адносіцца да поля сіл інерцыі (напрыклад, цэнтрабежнай сілы) — на гэтым заснавана цэнтрыфугаванне. Прыклад для поля немеханічнай прыроды: діамагнетык ў вакууме выцясняецца з вобласці магнітнага поля большай інтэнсіўнасці ў вобласць з меншай.

Вывад закона Архімеда для цела адвольнай формы[правіць | правіць зыходнік]

Гідрастатычны ціск вадкасці на глыбіні Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): h

ёсць Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): p = \rho g h 

. Пры гэтым лічым шчыльнасць вадкасці і напружанасць гравітацыйнага поля сталымі велічынямі, а Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): h

— параметрам. Возьмем цела адвольнай формы, якое мае ненулявы аб'ём. Увядзем правую ортанарміраваную сістэму каардынатаў Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): Oxyz

, прычым абярэм кірунак восі Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): z

супадальным з кірункам вектару Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \vec{g}

. Нуль па восі Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): z

ўсталюем на паверхні вадкасці. Вылучым на паверхні цела элементарную пляцоўку Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): dS

. На яе будзе дзейнічаць сіла ціску вадкасці? накіраваная ўнутр цела, Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): d\vec{F}_A = -pd\vec{S} . Каб атрымаць сілу, якая будзе дзейнічаць на цела, возьмем інтэграл па паверхні:

Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \vec{F}_A=-\int\limits_S{p\,d\vec{S}}=-\int\limits_S{\rho g h \,d\vec{S}}=-\rho g\int\limits_S{h \,d\vec{S}}=^*-\rho g\int\limits_V{grad(h)\,dV}=^{**}-\rho g\int\limits_V{\vec{e}_zdV}=-\rho g \vec{e}_z \int\limits_V{dV} = (\rho g V) (-\vec{e}_{z})


Пры пераходзе ад інтэграла па паверхні да інтэгралу па аб'ёму карыстаемся абагульненай тэарэмай Астраградскага-Гауса.

Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): {}^* h(x,y,z) = z; \quad ^{**} grad(h)=\nabla h=\vec{e}_{z}


Атрымліваем, што модуль сілы Архімеда роўны Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \rho g V , а накіравана яна ў бок, процілеглы кірунку вектара напружанасці гравітацыйнага поля.

Умова плавання цел[правіць | правіць зыходнік]

Паводзіны цела, якое знаходзіцца ў вадкасці або газе, залежыць ад суадносін паміж модулямі сілы цяжару Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \mathbf{F_T}

і сілы Архімеда Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \mathbf{F}_A

, якія дзейнічаюць на гэтае цела. Магчымыя наступныя тры выпадкі:

  • Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \mathbf{F_T}>\mathbf{F}_A
— цела тоне;
  • Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \mathbf{F_T}=\mathbf{F}_A
— цела плавае ў вадкасці або газе;
  • Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \mathbf{F_T}<\mathbf{F}_A
— цела ўсплывае да таго часу, пакуль не пачне плаваць.

Іншая фармулёўка (дзе Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \mathbf{p_t}

— шчыльнасць цела, Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \mathbf{p_s}
— шчыльнасць асяроддзя, у якую яно пагружана):
  • Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \mathbf{p_t}>\mathbf{p}_s
— цела тоне;
  • Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \mathbf{p_t}=\mathbf{p}_s
— цела плавае ў вадкасці або газе;
  • Не ўдалося разабраць (Cannot store math image on filesystem.): \mathbf{p_t}<\mathbf{p}_s
— цела ўсплывае да таго часу, пакуль не пачне плаваць.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Усё напісанае ніжэй, калі не агаворана іншае, адносіцца да аднароднага поля сілы цяжару (напрыклад, зблізку паверхні планеты).

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]