Матрыцы Паўлі

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search

Матрыцы Паўлі — гэта набор з трох эрмітавых 2×2 матрыц, які складаюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых 2×2 матрыц з нулявым следам. Былі прапанаваны Вольфгангам Паўлі для апісання спіна электрона ў квантавай механіцы. Матрыцы маюць выгляд

Замест часам выкарыстоўваюць пазначэнне

Часта таксама ўжываюць матрыцу

якая супадае з адзінкавай матрыцай.

Матрыцы Паўлі разам з матрыцай ўтвараюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых матрыц 2×2 (а не толькі матрыц з нулявым следам).

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

Асноўныя суадносіны[правіць | правіць зыходнік]

  • Эрмітавасць:
  • Роўнасць нулю следу:
  • дзе  — адзінкавая матрыца размернасці 2×2.
  • Вызначнік матрыц Паўлі роўны −1.
  • алгебра, народжаная элементамі , ізаморфныя алгебры кватерніёнаў .

Правілы множання матрыц Паўлі

для

Гэтыя правілы множання можна перапісаць у кампактнай форме

,

дзе  — сімвал Кронекера, а εijk — сімвал Леві-Чывіты.

З гэтых правілаў множання вынікаюць камутацыйныя суадносіны

Квадратныя дужкі азначаюць камутатар, фігурныя — антыкамутатар.

Сувязь з алгебрай Лі[правіць | правіць зыходнік]

Камутацыйныя суадносіны матрыц супадаюць з камутацыйнымі суадносінамі генератараў алгебры Лі su(2). І сапраўды, уся гэтая алгебра, якая складаецца з антыэрмітавых матрыц 2×2, можа быць пабудавана з адвольных лінейных камбінацый матрыц Група SU(2) з алгебрай su(2) лакальна ізаморфныя групе SO(3) кручэнняў трохмернай прасторы; у прыватнасці гэтым тлумачыцца важнасць матрыц Паўлі для фізікі.

Зноскі

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.