Матрыцы Паўлі

Матрыцы Паўлі — гэта набор з трох эрмітавых 2×2 матрыц, які складаюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых 2×2 матрыц з нулявым следам. Былі прапанаваны Вольфгангам Паўлі для апісання спіна электрона ў квантавай механіцы. Матрыцы маюць выгляд

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},$

$\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},$

$\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

Замест $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ часам выкарыстоўваюць пазначэнне $\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}.$

Часта таксама ўжываюць матрыцу

$\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},$

якая супадае з адзінкавай матрыцай.

Матрыцы Паўлі разам з матрыцай $\sigma _{0}$ ўтвараюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых матрыц 2×2 (а не толькі матрыц з нулявым следам).

Уласцівасці

Асноўныя суадносіны

• Эрмітавасць: $\sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i};$
• Роўнасць нулю следу: $\operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3$
• $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}=I,$ дзе $I=\sigma _{0}$ — адзінкавая матрыца размернасці 2×2.
• Вызначнік матрыц Паўлі роўны −1.
• алгебра, народжаная элементамі $\sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z}$, ізаморфныя алгебры кватерніёнаў $\langle 1,i,j,k\rangle$.

Правілы множання матрыц Паўлі

$\sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},\,\!$

$\sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},\,\!$

$\sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},\,\!$

$\sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\!$ для $i\neq j.\,\!$

Гэтыя правілы множання можна перапісаць у кампактнай форме

$\sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j,k=1,2,3$,

дзе $\delta _{ij}$ — сімвал Кронекера, а ε_ijk — сімвал Леві-Чывіты.

З гэтых правілаў множання вынікаюць камутацыйныя суадносіны

${\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}$

Квадратныя дужкі азначаюць камутатар, фігурныя — антыкамутатар.

Сувязь з алгебрай Лі

Камутацыйныя суадносіны матрыц $i\sigma _{k}\!$ супадаюць з камутацыйнымі суадносінамі генератараў алгебры Лі su(2). І сапраўды, уся гэтая алгебра, якая складаецца з антыэрмітавых матрыц 2×2, можа быць пабудавана з адвольных лінейных камбінацый матрыц $i\sigma _{k}\;.$ Група SU(2) з алгебрай su(2) лакальна ізаморфныя групе SO(3) кручэнняў трохмернай прасторы; у прыватнасці гэтым тлумачыцца важнасць матрыц Паўлі для фізікі.

Літаратура

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.