Матэматычнае спадзяванне
Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца або . Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў прыбліжаецца да .
Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні , з імавернасцямі , дзе , то яго спадзяваны выйгрыш за гульню роўны (адсюль назва).
Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]
Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега[правіць | правіць зыходнік]
Няхай зададзена прастора імавернасцей і азначаная на ёй выпадковая велічыня . То бок, па азначэнні, — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад па прасторы , то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім (чаканым) значэннем і абазначаецца або .
Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні[правіць | правіць зыходнік]
Калі — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стылцьеса:
- , .
Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)[правіць | правіць зыходнік]
Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю , роўнае
- .
Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні[правіць | правіць зыходнік]
Калі — дыскрэтная выпадковая велічыня, у якой размеркаванне
- , ,
тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што
- .
Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні[правіць | правіць зыходнік]
- Калі — станоўчая цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасці
- , , ,
то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз вытворчую функцыю паслядоўнасці
Уласцівасці матэматычнага спадзявання[правіць | правіць зыходнік]
- Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.
- — канстанта;
- Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок
- ,
- дзе — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а — любыя канстанты;
У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.
- Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі амаль напэўна, і — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні таксама канечнае, і больш за тое:
- .
- Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі амаль напэўна, то
- .
- Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэлюемых выпадковых велічынь роўнае здабытку іх матспадзяванняў
- .
Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем[правіць | правіць зыходнік]
Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні , азначанай на прасторы імавернасцей з канечным матспадзяваннем , справядліва няроўнасць:
- , дзе .
Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай — прастора імавернасцей, — азначаная на ёй выпадковая велічыня, — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што , тады
- .
Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем[правіць | правіць зыходнік]
Літаратура[правіць | правіць зыходнік]
- Матэматычнае спадзяванне // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 212. — 496 с.: іл. — ISBN 985-458-059-8.
- Матэматычнае чаканне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 10: Малайзія — Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 10. — С. 212. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0169-9 (т. 10).
- Прохоров А.В. Математическое ожидание // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз. Стл. 600—601.