Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search

Няроўнасць Кашы́ — Буняко́ўскага звязвае норму і скалярны здабытак вектараў у еўклідавай прасторы. Гэта няроўнасць раўназначная няроўнасці трохвугольніка для нормы.

Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага часам, асабліва ў замежнай літаратуры, называюць няроўнасцю Шварца і няроўнасцю Кашы — Бунякоўскага — Шварца («няроўнасць КБШ»), хаця працы Шварца на гэту тэму паявіліся толькі праз 25 гадоў пасля прац Бунякоўскага[1]. Канечнамерны выпадак гэтай няроўнасці называецца няроўнасцю Кашы і быў даказан Агюстэнам Кашы ў 1821 годзе.

Фармулёўка[правіць | правіць зыходнік]

Няхай - лінейная прастора са скалярным здабыткам . Няхай — норма, спароджаная скалярным здабыткам, г.зн. . Тады для любых маем:

прычым роўнасць дасягаецца тады і толькі тады, калі вектары і прапарцыянальныя (калінеарныя).

Каментарыі[правіць | правіць зыходнік]

У канечнамерным выпадку можна заўважыць, што , дзе плошча паралелаграма, нацягнутага на вектары і .

У агульным выпадку:

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

дзе абазначае камплекснае спалучэнне .

  • У прасторы выпадковых велічынь з канечным другім момантам няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:
дзе абазначае каварыяцыю, а дысперсію.

Доказ[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі то справядліва наступнае

Значыць дыскрымінант мнагачлена недадатны, г.зн.

Такім чынам,

  • Калі то прадставім скалярны здабытак у трыганаметрычным выглядзе

Вызначым вектар Тады

і

Да скалярнага здабытку прыменім вынік першага пункта доказу.

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.