Падгрупа

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці
Група, алгебра
Rubik's cube.svg
Тэорыя груп
Гл. таксама «Фізічны партал»


Падгрупа ― падмноства групы , якое само з'яўляецца групай адносна аперацыі, якая вызначаецца .

Падмноства групы з'яўляецца яе падгрупай тады і толькі тады, калі:

  • змяшчае адзінкавы элемент з
  • змяшчае здабытак любых двух элементаў з ,
  • змяшчае разам з усякім сваім элементам адваротны да яго элемент .

У выпадку канечных і, наогул, перыядычных груп праверка другой ўмовы з'яўляецца залішняй.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Падмноства групы , якое складаецца з аднаго элемента 1, будзе, відавочна, падгрупай, і гэтая падгрупа называецца адзінкавай падгрупай групы .
  • Сама таксама з'яўляецца сваёй падгрупай.

Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Усякая падгрупа, якая адрозніваецца ад усёй групы, называецца сапраўднай падгрупай гэтай групы. Сапраўдная падгрупа некаторай бясконцай групы можа быць ізаморфнай самой групе.
  • Сама група і адзінкавая падгрупа называюцца няўласнымі падгрупамі групы , усе астатнія ― уласнымі.
  • Перасячэнне ўсіх падгруп групы , якія змяшчаюць усе элементы некаторага непустога мноства , называецца падгрупай, спароджанай мноствам , і абазначаецца .
  • Калі складаецца з аднаго элемента , то называецца цыклічнай падгрупай элемента .
  • Калі група ізаморфная некаторай падгрупе групы , то кажуць, што група можа быць ўкладзена ў групу .

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Непустое мноства з'яўляецца падгрупай групы тады і толькі тады, калі для любых выконваецца
  • Тэарэтыка-множнае перасячэнне любых двух (і любога мноства) падгруп групы з'яўляецца падгрупай групы .
  • Тэарэтыка-множнае аб'яднанне падгруп, наогул кажучы, не абавязана з'яўляцца падгрупай. Аб'яднаннем падгруп і называецца падгрупа, спароджаная аб'яднаннем мностваў .
  • Гамаморфны вобраз падгруп ― падгрупа.
  • Калі дадзеныя дзве групы і кожная з іх ізаморфная некаторай сапраўднай падгрупе іншай, то адсюль яшчэ не вынікае ізамарфізм саміх гэтых груп.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]