Падобнасць (геаметрыя)

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Падобнасць — ператварэнне эўклідавай прасторы, пры якім для любых двух пунктаў , і іх выяў, маюць месца суадносіны , дзе — не роўны нулю лік, што завецца каэфіцыентам падобнасці.

Адкрыццё[правіць | правіць зыходнік]

Вучэнне пра падобнасць фігур было створана ў Старажытнай Грэцыі у V—IV стст. да н.э. працамі Гіпакрата Хіяскага, Архіта Тарэнцкага, Яўдокса Кнідскага і інш. Яно выкладзена ў VI кнізе «Пачаткаў» Эўкліда.

Прыклады[правіць | правіць зыходнік]

  • Кожная гаматэтыя з'яўляецца падобнасцю.
  • Кожны рух (у тым ліку і тоесны) таксама можна разглядаць як ператварэнне падобнасці з каэфіцыентам .
Падобныя фігуры на рысунку маюць аднолькавыя колеры.

Звязаныя вызначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Фігура завецца падобнай фігуры , калі існуе ператварэнне падобнасці, пры якім .

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Падобнасць ёсць ўзаемна адназначным адлюстраваннем эўклідавай прасторы на сябе.
  • Падобнасць захоўвае парадак пунктаў на простай, то бок калі пункт ляжыць паміж пунктамі , і , , — адпаведныя іх выявы пры некаторай падобнасці, то таксама ляжыць паміж пунктамі і .
  • Пункты, што не ляжаць на простай, пры кожнай падобнасці пераходзяць у пункты, што не ляжаць на адной простай.
  • Падобнасць ператворыць простую ў простую, адрэзак у адрэзак, прамень у прамень, вугал у вугал, акружнасць у акружнасць.
  • Пры падобнасці вугал захоўвае велічыню.
  • Падобнасць з каэфіцыентам , што пераўтварае кожную простую ў паралельную ёй простую, з'яўляецца гаматэтыяй з каэфіцыентам ці .
    • Кожную падобнасць можна разглядаць як кампазіцыю руху і некаторай гаматэтыі з дадатным каэфіцыентам.
    • Падобнасць завецца уласнай (няўласнай), калі рух з'яўляецца ўласным (няўласным). Уласная падобнасць захоўвае арыентацыю фігур, а няўласная — змяняе арыентацыю на процілеглую.
  • Два трохвугольніка з'яўляюцца падобнымі, калі
  • Плошчы падобных фігур сумерныя квадратам іх адпаведных ліній (прыкладам, бакоў). Так, плошчы кругоў сумерныя адносінам квадратаў іх дыяметраў (ці радыусаў).

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Аналагічна вызначаецца падобнасць (з захаваннем указаных вышэй уласцівасцей) у 3-мернай эўклідавай прасторы, а таксама ў n-мернай эўклідавай і псеўдаэўклідавай прасторах.

У метрычных прасторах гэтак жа, як у -мерных рыманавых, псеўдарыманавых і фінслеравых прасторах падобнасць вызначаецца як ператварэнне, што перакладае метрыку прасторы ў сябе з дакладнасцю да пастаяннага множніка.

Сукупнасць усіх падабенстваў n-мернай эўклідавай, псеўдаэўклідавай, рыманавай, псеўдарыманавай ці фінслеравай прасторы складае -складовую групу ператварэнняў Лі, якая завецца групай падобных (гаматэтычных) ператварэнняў адпаведнай прасторы. У кожнай з прастор указаных тыпаў -складовая група падобных ператварэнняў Лі ўтрымвае -складовую нармальную падгрупу рухаў.

Абазначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Для абазначэння падобнасці выкарыстоўваецца значок ~.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]