Першаісная

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Першаі́сная[1] функцыі f(x) − такая функцыя F(x), вытворная якой для ўсіх x з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі f(x), гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць

Сукупнасць усіх першаісных функцыі f(x) на прамежку (a,b) называецца нявы́значаным інтэгра́лам[1] і пазначаецца сімвалам

Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграва́ннем.

Уласцівасці нявызначанага інтэграла[правіць | правіць зыходнік]

  • Калі F(x) − першаісная функцыі f(x) на прамежку (a,b), то ўсякая першаісная функцыі f(x) на гэтым прамежку ма́е выгляд F(x) + C, дзе C - адвольная сталая[2].

Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай[правіць | правіць зыходнік]

Лінейнасць нявызначанага інтэграла[правіць | правіць зыходнік]

  • Няхай a ≠ 0 ёсць ненулявою сталаю, тады
  • Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:

Сувязь з інтэгралам Рымана[правіць | правіць зыходнік]

  • Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай f(x) непарыўная на прамежку [a , b]. Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой

ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b] [2].

называная формулай Ньютана-Лейбніца.

Асноўныя метады інтэгравання[правіць | правіць зыходнік]

Лінейныя пераўтварэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Метад раскладання. Калі
    то

Метад падстаноўкі[правіць | правіць зыходнік]

  • Увядзенне новага аргумента. Калі
    то
    дзе — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.
  • Метад падстаноўкі. Калі — непарыўная, то, прымаючы
    дзе — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем

Інтэграванне па частках[правіць | правіць зыходнік]

Першаісная ў камплексным аналізе[правіць | правіць зыходнік]

  • Функцыя f(z) мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.
  • Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.

Прыклад:

Першаісныя найпрасцейшых элементарных функцый[правіць | правіць зыходнік]

У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй (тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная). Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы[3]:

У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый[2][3]:

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

  1. 1,0 1,1 Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік — Мінск: Тэхналогія, 2001.
  2. 2,0 2,1 2,2 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления — Москва: Физматгиз, 1962. — Т. 2.
  3. 3,0 3,1 Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.