Праблема Варынга

Прабле́ма Ва́рынга — сцвярджэнне ў тэорыі лікаў, згодна з якім пры кожным цэлым $n>1$ існуе такі лік $k=k(n)$, што ўсякі натуральны лік $N$ можна прадставіць у выглядзе:

$x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=N\quad$

з цэлымі неадмоўнымі $x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}$.

Як гіпотэза прапанована ў 1770 годзе Эдвардам Уорынгам (Варынгам), даказана Гільбертам у 1909 годзе. Ужо пасля доказу вакол пытанняў, як звязаных з доказам асноўнай праблемы, так і з рознымі варыянтамі і абагульненнямі, праведзена значная колькасць даследаванняў, у рамках якіх атрыманы цікавыя вынікі і развіты важныя метады. У Матэматычнай прадметнай класіфікацыі (MSC) праблеме Варынга і звязаным з ёю даследаванням прысвечаны асобны раздзел трэцяга ўзроўню: 11P05, «Праблема Варынга і яе варыянты».

Асноўныя вынікі

Да ХХ стагоддзя праблему ўдавалася рашыць толькі ў асобных выпадках. Напрыклад, Тэарэма Лагранжа аб суме чатырох квадратаў устанаўлівае k = 4 для праблемы ў выпадку n = 2.

Першы доказ справядлівасці гіпотэзы Варынга быў даны ў 1909 годзе Гільбертам. Доказ быў вельмі аб'ёмным і будаваўся на складаных аналітычных канструкцыях, уключаючы пяцікратныя інтэгралы.

У 1920 годзе новы доказ гэтай жа тэарэмы далі Хардзі і Літлвуд, распрацаваўшы дзеля гэтага адмысловы кругавы метад. Яны ўвялі дзве функцыі $g(n)$ і $G(n)$:

• $g(n)$ — найменшае $k$ такое, што праблема Варынга вырашальная пры $N\geqslant 1$;
• $G(n)$ — найменшае $k$ такое, што праблема Варынга мае рашэнне пры $N\geqslant N_{0}(n)$.

Ясна, што $G(n)\leqslant g(n)$. Хардзі і Літлвуд далі для $G(n)$ ацэнку знізу $n<G(n)$, якая па парадку і па канстанце ў агульным выпадку не палепшана (па стане на 2010-я гг.), і ацэнку зверху, якая пасля была карэнным чынам палепшана. Гэта функцыя з тае пары называецца функцыяй Хардзі. Яны таксама атрымалі асімптатычную формулу для ліку рашэнняў праблемы Варынга.

Такім чынам, у выніку даследавання праблемы Варынга былі распрацаваны магутныя аналітычныя метады. Аднак Ю. У. Ліннік у 1942 годзе знайшоў доказ асноўнай тэарэмы на аснове элементарных метадаў.

Функцыя $g(n)$ сёння вядома. Для больш фундаментальнай функцыі $G(n)$ атрыман шэраг ацэнак зверху і знізу, але яе канкрэтныя значэнні невядомыя нават для малых $n$.

Функцыя g(n)

Іаган Эйлер, сын Леанарда Эйлера, выказаў здагадку каля 1772 года, што

$g(n)=2^{n}+[(3/2)^{n}]-2,$

дзе $[x]$ абазначае цэлую частку рэчаіснага ліку $x$.

У 1940-я гады Дзіксан, Пілаі, Рубугундай, Нівэн з улікам выніку Малера даказалі, што гэта верна за выключэннем канечнага ліку значэнняў $n$, большых за 471 600 000. Ёсць гіпотэза, што гэта формула верная для ўсіх натуральных лікаў.

Прывядзём некалькі першых значэнняў $g(n)$:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …

Цікава, што, напрыклад, для n = 3 толькі лікі 23 і 239 нельга прадставіць сумаю васьмі кубоў.

Функцыя G(n)

У 1924 годзе І. М. Вінаградаў прымяніў да праблемы Варынга свой метад трыганаметрычных сум. Гэта не толькі моцна спрасціла доказ, але і адкрыла шлях да прынцыповага паляпшэння ацэнкі для $G(n)$. Пасля цэлага рада ўдакладненняў ён у 1959 годзе даказаў, што

$G(n)<2n\log n+4n\log \log n+2n\log \log \log n+13n.$

Прымяняючы сканструяваную ім p-адычную форму кругавога метаду Хардзі — Літлвуда — Рамануджана — Вінаградава да ацэнак трыганаметрычных сум, у якіх сума бярэцца па ліках з малымі простымі дзельнікамі, А. А. Карацуба палепшыў гэту ацэнку. Пры $n\geqslant 400$:

$G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.$

Пазней ацэнку палепшыў Т. Вулі. Спачатку ў працы 1992 года, а потым — у 1995 годзе:

$G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(\log \log n/\log n).$

Воан і Вулі напісалі аб праблеме Варынга аб'ёмны аглядны артыкул, у якім вынік Карацубы адносяць да публікацыі Воана 1989 года.

Межы
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Фактычна велічыня $G(n)$ вядома толькі для 2 значэнняў аргумента, а іменна $G(2)=4$ і $G(4)=16$. Апошні вынік даказаў Х. Дэвенпорт .

Верхнія межы ў табліцы справа для $n=5,\;\ldots ,\;20$ прыведзены ў працы Р. Ч. Воана і Т. Вулі.

Верхнюю ацэнку $G(3)\leqslant 7$ даказаў Ю. У. Ліннік. Камп'ютарныя эксперыменты дазваляюць меркаваць, што гэту ацэнку можна палепшыць да 4. Найбольшы вядомы лік, які нельга прадставіць сумаю 4 кубоў, гэта 7 373 170 279 850. Таксама камп'ютарныя эксперыменты паказваюць, што магчыма $G(5)<G(4)$.

Акрамя дакладных значэнняў $G(n)$ адкрытым застаецца пытанне і пра лік рашэнняў праблемы Варынга пры заданых параметрах і абмежаваннях.

Абагульненні

Праблема Варынга — Гольдбаха

Праблема Варынга — Гольдбаха ставіць пытанне: ці можна прадставіць любы цэлы лік сумаю n-ых ступеней простых лікаў, дзе колькасць складнікаў абмежавана некаторай сталай велічынёю (па аналогіі з праблемаю Варынга і праблемаю Гольдбаха).

Хуа Ло-кен, з дапамогаю палепшаных метадаў Хардзі — Літлвуда і Вінаградава, атрымаў для ліку простых складнікаў ацэнку зверху O(n² log n).

Дакладнасць прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней

Абагульненнем праблемы Варынга можна лічыць пытанне аб дакладнасці прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней цэлых, не развязанае нават для другой ступені.

Усе натуральныя лікі, за выключэннем лікаў віду 4^m(8n+7), дзе m, n = 0, 1, 2, ..., можна прадставіць у выглядзе $x^{2}+y^{2}+z^{2}$. Натуральна ўзнікае пытанне: як блізка да заданага ліку $N$ можна падысці сумаю двух квадратаў цэлых лікаў? Паколькі $(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$ і правая частка гэтай роўнасці мае парадак кораня квадратнага з $n^{2}$, то адным квадратам можна падысці да $N$ на адлегласць парадку $N^{1/2}$. Такім чынам, сумаю двух квадратаў можна падысці да $N$ на адлегласць парадку $N^{1/4}$. А ці можна падысці бліжэй? З часоў Эйлера стаіць гэта задача «без руху», хоць ёсць гіпотэза, што

$\min _{x,\;y\in Z}|N-x^{2}-y^{2}|\leqslant N^{\varepsilon },$

дзе $\varepsilon >0,\;\varepsilon$ — любое, $N\geqslant N_{1}(\varepsilon )$. Замяніць $1/4$ у папярэднім разважанні на $1/4-c$ з адвольна малым фіксаваным $c>0$ не ўдаецца, і гэта, на першы погляд, простая задача «стаіць на месцы» з сярэдзіны XVIII стагоддзя.

Мнагамерны аналаг праблемы Варынга

У сваіх далейшых даследаваннях па праблеме Варынга А. А. Карацуба атрымаў наступнае двухмернае абагульненне праблемы:

Разгледзім сістэму ўраўненняў

$x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\ldots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,$

дзе $N_{i}$ — зададзеныя натуральныя лікі з аднолькавым парадкам росту, $N_{0}\to +\infty$, а $x_{\varkappa },\;y_{\varkappa }$ — невядомыя натуральныя лікі. Гэта сістэма вырашальная, калі $k>cn^{2}\log n$, а калі $k<c_{1}n^{2}$, то ёсць такія $N_{i}$, што сістэма не мае рашэнняў.

Гл. таксама

• Кругавы метад Хардзі — Літлвуда

Літаратура

• Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия», 1988. — 847 с.
• Davenport, H. (2005). Analytic Methods for Diophantine Equations and Diophantine Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 9780521605830.
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 164. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002.