Праблема Варынга

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search

Прабле́ма Ва́рынга — сцвярджэнне ў тэорыі лікаў, згодна з якім пры кожным цэлым існуе такі лік , што ўсякі натуральны лік можна прадставіць у выглядзе:

з цэлымі неадмоўнымі .

Як гіпотэза прапанована ў 1770 годзе Эдвардам Уорынгам(руск.) бел. (Варынгам)[1], даказана Гільбертам у 1909 годзе. Ужо пасля доказу вакол пытанняў, як звязаных з доказам асноўнай праблемы, так і з рознымі варыянтамі і абагульненнямі, праведзена значная колькасць даследаванняў, у рамках якіх атрыманы цікавыя вынікі і развіты важныя метады. У Матэматычнай прадметнай класіфікацыі(англ.) бел. (MSC) праблеме Варынга і звязаным з ёю даследаванням прысвечаны асобны раздзел трэцяга ўзроўню: 11P05, «Праблема Варынга і яе варыянты»[2].

Асноўныя вынікі[правіць | правіць зыходнік]

Да ХХ стагоддзя праблему ўдавалася рашыць толькі ў асобных выпадках. Напрыклад, Тэарэма Лагранжа аб суме чатырох квадратаў(руск.) бел. устанаўлівае k = 4 для праблемы ў выпадку n = 2.

Першы доказ справядлівасці гіпотэзы Варынга быў даны ў 1909 годзе Гільбертам[3]. Доказ быў вельмі аб'ёмным і будаваўся на складаных аналітычных канструкцыях, уключаючы пяцікратныя інтэгралы.

У 1920 годзе новы доказ гэтай жа тэарэмы далі Хардзі(англ.) бел. і Літлвуд(руск.) бел., распрацаваўшы дзеля гэтага адмысловы кругавы метад[4]. Яны ўвялі дзве функцыі і :

  • — найменшае такое, што праблема Варынга вырашальная пры ;
  • — найменшае такое, што праблема Варынга мае рашэнне пры .

Ясна, што . Хардзі і Літлвуд далі для ацэнку знізу , якая па парадку і па канстанце ў агульным выпадку не палепшана (па стане на 2010-я гг.), і ацэнку зверху, якая пасля была карэнным чынам палепшана. Гэта функцыя з тае пары называецца функцыяй Хардзі. Яны таксама атрымалі асімптатычную формулу для ліку рашэнняў праблемы Варынга.

Такім чынам, у выніку даследавання праблемы Варынга былі распрацаваны магутныя аналітычныя метады. Аднак Ю. У. Ліннік у 1942 годзе знайшоў доказ асноўнай тэарэмы на аснове элементарных метадаў[5].

Функцыя сёння вядома. Для больш фундаментальнай функцыі атрыман шэраг ацэнак зверху і знізу, але яе канкрэтныя значэнні невядомыя нават для малых .

Функцыя g(n)[правіць | правіць зыходнік]

Іаган Эйлер(руск.) бел., сын Леанарда Эйлера, выказаў здагадку каля 1772 года[6], што

дзе абазначае цэлую частку(руск.) бел. рэчаіснага ліку .

У 1940-я гады Дзіксан(англ.) бел., Пілаі(англ.) бел., Рубугундай(англ.) бел., Нівэн(англ.) бел.[7] з улікам выніку Малера(англ.) бел.[8] даказалі, што гэта верна за выключэннем канечнага ліку значэнняў , большых за 471 600 000. Ёсць гіпотэза, што гэта формула верная для ўсіх натуральных лікаў.

Прывядзём некалькі першых значэнняў :

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, … [9]

Цікава, што, напрыклад, для n = 3 толькі лікі 23 і 239 нельга прадставіць сумаю васьмі кубоў.

Функцыя G(n)[правіць | правіць зыходнік]

У 1924 годзе І. М. Вінаградаў прымяніў да праблемы Варынга свой метад трыганаметрычных сум[10]. Гэта не толькі моцна спрасціла доказ, але і адкрыла шлях да прынцыповага паляпшэння ацэнкі для . Пасля цэлага рада ўдакладненняў ён у 1959 годзе даказаў, што

Прымяняючы сканструяваную ім p-адычную форму кругавога метаду Хардзі — Літлвуда — Рамануджана — Вінаградава да ацэнак трыганаметрычных сум, у якіх сума бярэцца па ліках з малымі простымі дзельнікамі, А. А. Карацуба(руск.) бел. палепшыў[11] гэту ацэнку. Пры :

Пазней ацэнку палепшыў Т. Вулі(руск.) бел.. Спачатку ў працы 1992 года[12], а потым — у 1995 годзе[13]:

Воан(англ.) бел. і Вулі напісалі аб праблеме Варынга аб'ёмны аглядны артыкул[14], у якім вынік Карацубы адносяць да публікацыі Воана 1989 года[15].

Межы
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Фактычна велічыня вядома толькі для 2 значэнняў аргумента, а іменна і . Апошні вынік даказаў Х. Дэвенпорт(англ.) бел. [16].

Верхнія межы ў табліцы справа для прыведзены ў працы Р. Ч. Воана(англ.) бел. і Т. Вулі(руск.) бел.[14].

Верхнюю ацэнку даказаў[5] Ю. У. Ліннік. Камп'ютарныя эксперыменты дазваляюць меркаваць, што гэту ацэнку можна палепшыць да 4[17]. Найбольшы вядомы лік, які нельга прадставіць сумаю 4 кубоў, гэта 7 373 170 279 850[18]. Таксама камп'ютарныя эксперыменты паказваюць, што магчыма .

Акрамя дакладных значэнняў адкрытым застаецца пытанне і пра лік рашэнняў праблемы Варынга пры заданых параметрах і абмежаваннях.

Абагульненні[правіць | правіць зыходнік]

Праблема Варынга — Гольдбаха[правіць | правіць зыходнік]

Праблема Варынга — Гольдбаха ставіць пытанне[19]: ці можна прадставіць любы цэлы лік сумаю n-ых ступеней простых лікаў, дзе колькасць складнікаў абмежавана некаторай сталай велічынёю (па аналогіі з праблемаю Варынга і праблемаю Гольдбаха(англ.) бел.).

Хуа Ло-кен(англ.) бел., з дапамогаю палепшаных метадаў Хардзі — Літлвуда і Вінаградава, атрымаў[20] для ліку простых складнікаў ацэнку зверху O(n2 log n).

Дакладнасць прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней[правіць | правіць зыходнік]

Абагульненнем праблемы Варынга можна лічыць пытанне аб дакладнасці прадстаўлення цэлага ліку сумаю ступеней цэлых, не развязанае нават для другой ступені.

Усе натуральныя лікі, за выключэннем лікаў віду 4m(8n+7), дзе m, n = 0, 1, 2, ..., можна прадставіць у выглядзе . Натуральна ўзнікае пытанне: як блізка да заданага ліку можна падысці сумаю двух квадратаў цэлых лікаў? Паколькі і правая частка гэтай роўнасці мае парадак кораня квадратнага з , то адным квадратам можна падысці да на адлегласць парадку . Такім чынам, сумаю двух квадратаў можна падысці да на адлегласць парадку . А ці можна падысці бліжэй? З часоў Эйлера стаіць гэта задача «без руху», хоць ёсць гіпотэза, што

дзе — любое, . Замяніць у папярэднім разважанні на з адвольна малым фіксаваным не ўдаецца, і гэта, на першы погляд, простая задача «стаіць на месцы» з сярэдзіны XVIII стагоддзя[21].

Мнагамерны аналаг праблемы Варынга[правіць | правіць зыходнік]

У сваіх далейшых даследаваннях па праблеме Варынга А. А. Карацуба атрымаў[22][23] наступнае двухмернае абагульненне праблемы:

Разгледзім сістэму ўраўненняў

дзе — зададзеныя натуральныя лікі з аднолькавым парадкам росту, , а — невядомыя натуральныя лікі. Гэта сістэма вырашальная, калі , а калі , то ёсць такія , што сістэма не мае рашэнняў.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.
  2. 11P05 Waring's problem and variants // Mathematical Subject Classification, 2010
  3. Hilbert, D. (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)". Mathematische Annalen 67: 281–300. doi:10.1007/bf01450405. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0067&DMDID=DMDLOG_0029&L=1. 
  4. Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.
  5. 5,0 5,1 Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring'a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.
  6. Л. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862)
  7. Niven, Ivan M. (1944). "An unsolved case of the Waring problem". American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 66 (1): 137–143. doi:10.2307/2371901. 
  8. Mahler, K. (1957). "On the fractional parts of the powers of a rational number II". Mathematika 4: 122—124. 
  9. паслядоўнасць A002804 у OEIS
  10. Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.
  11. Карацуба, А. А. (1985). "О функции G(n) в проблеме Варинга". Изв. РАН. Сер. матем. (49:5): 935—947. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=1372&option_lang=rus. 
  12. Wooley T. D. Large improvements in Waring's problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.
  13. Wooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.
  14. 14,0 14,1 Vaughan R. C., Wooley T. D. (2002). Waring's Problem: A Survey Number Theory for the Millennium. III. A. K. Peters. pp. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.145.8949&rep=rep1&type=pdf Waring's Problem: A Survey. 
  15. Vaughan R. C. A new iterative method in Waring's problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.
  16. Davenport H. On Waring's problem for fourth powers // Annals of Math., 1939, № 40, p. 731—747.
  17. Nathanson (1996), p. 71
  18. Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix by (2000). "7373170279850". Mathematics of Computation 69 (229): 421–439. doi:10.1090/S0025-5718-99-01116-3. 
  19. Buttcane, Jack (January 2010). "A note on the Waring–Goldbach problem". Journal of Number Theory (Elsevier) 130 (1): 116–127. doi:10.1016/j.jnt.2009.07.006. 
  20. Hua Lo Keng. Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.
  21. Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11
  22. Архипов Г. И., Карацуба А. А. (1987). "Многомерный аналог проблемы Варинга". Докл. АН СССР (295:3): 521—523. 
  23. Karatsuba A. A. (1988). "Waring's problem in several dimension". Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht (42): 5–6. 

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Математический энциклопедический словарь — М.: «Сов. энциклопедия», 1988. — 847 с.
  • Davenport, H. (2005). Analytic Methods for Diophantine Equations and Diophantine Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 9780521605830. 
  • Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics. 164. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X.