Праблемы Гільберта

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search

Праблемы Гільберта — спіс з 23 кардынальных праблем матэматыкі, прадстаўлены Давідам Гільбертам на II Міжнародным Кангрэсе матэматыкаў у Парыжы ў 1900 годзе. Тады гэтыя праблемы (якія ахопліваюць асновы матэматыкі, алгебру, тэорыю лікаў, геаметрыю, тапалогію, алгебраічную геаметрыю, групы Лі, рэчаісны і камплексны аналіз, дыферэнцыяльныя ўраўненні, матэматычную фізіку і тэорыю імавернасцей, а таксама варыяцыйнае злічэнне) не былі рэшаны. На сёння вырашана 16 праблем з 23. Яшчэ 2 не з'яўляюцца карэктнымі матэматычнымі праблемамі (адна сфармулявана занадта расплыўчата, каб зразумець, вырашана яна ці не; другая, далёкая ад рашэння, — фізічная, а не матэматычная). З астатніх 5 праблем дзве не вырашаныя ніяк, а тры вырашаныя толькі для некаторых выпадкаў.

Спіс праблем[правіць | правіць зыходнік]

Кароткая фармулёўка Статус Вынік Год рашэння
1-я Праблема Кантара аб магутнасці кантынуума (Кантынуум-гіпотэза) рэшана[1] Невырашальная ў ZFC 1963
2-я Несупярэчлівасць аксіём арыфметыкі. няма кансэнсуса[2] Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі
3-я Роўнасастаўленасць роўнавялікіх мнагаграннікаў рэшана Абвергнута 1900
4-я Пералічыць метрыкі, у якіх прамыя з'яўляюцца геадэзічнымі лініямі вельмі расплыўчатая[3] Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі
5-я Ці ўсе непарыўныя групы з'яўляюцца групамі Лі? рэшана Так 1953
6-я Матэматычная апрацоўка аксіём фізікі часткова рэшана (у залежнасці ад інтэрпрэтацыі зыходнай пастаноўкі праблемы)[4]
7-я Ці з'яўляецца лік трансцэндэнтным (ці хаця б ірацыянальным)?[5] рэшана Так 1935
8-я Праблема простых лікаў (гіпотэза Рымана і праблема Гольдбаха) часткова рэшана[6] Даказана тэрнарная гіпотэза Гольдбаха[7][8][9][10].
9-я Доказ найбольш агульнага закона ўзаемнасці ў любым лікавым полі часткова рэшана[11] Даказана для абелевага выпадку
10-я Ці ёсць універсальны алгарытм рашэння дыяфантавых ураўненняў? рэшана[12] Няма 1970
11-я Даследаванне квадратычных форм з адвольнымі алгебраічнымі лікавымі каэфіцыентамі часткова рэшана
12-я Распаўсюджанне тэарэмы Кронекера аб абелевых палях на адвольную алгебраічную вобласць рацыянальнасці не рэшана
13-я Ці можна рашыць агульнае ўраўненне сёмай ступені з дапамогай функцый, якія залежаць толькі ад дзвюх зменных? рэшана Так 1957
14-я Доказ канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў лінейнай алгебраічнай групы[13] рэшана Абвергнута 1959
15-я Строгае абгрунтаванне пералічальнай геаметрыі Шуберта часткова рэшана
16-я Тапалогія алгебраічных крывых і паверхняў[14] часткова рэшана[15]
17-я Ці можна прадставіць вызначаныя формы ў выглядзе сумы квадратаў рэшана Так 1927
18-я
  • Ці канечны лік крышталеграфічных груп?
  • Ці існуюць нерэгулярныя запаўненні прасторы кангруэнтнымі мнагаграннікамі?
  • Ці з'яўляюцца гексаганальная і кубічная гранецэнтраваная ўпакоўкі шароў найбольш шчыльнымі?
рэшана[16][17]
  • Так
  • Так
  • Так
  •  ?
  • 1928
  • 1998
19-я Ці заўсёды рашэнні рэгулярнай варыяцыйнай задачы Лагранжа з'яўляюцца аналітычнымі? рэшана Так 1957
20-я Ці ўсе варыяцыйныя задачы з вызначанымі межавымі ўмовамі маюць рашэнні? рэшана Так ?
21-я Доказ існавання лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў з зададзенай групай монадраміі рэшана У залежнасці ад удакладнення фармулёўкі: ёсць / няма ?
22-я Уніфармізацыя аналітычных залежнасцей з дапамогай аўтаморфных функцый рэшана ?
23-я Развіццё метадаў варыяцыйнага злічэння не рэшана

24-я праблема[правіць | правіць зыходнік]

Асноўны артыкул: 24-я праблема Гільберта been

Першапачаткова спіс утрымліваў 24 праблемы, але ў працэсе падрыхтоўкі к дакладу Гільберт адмовіўся ад адной з іх. Гэтая праблема была звязана з тэорыяй доказаў крытэрыя прастаты і агульных метадаў. Дадзеная праблема была знойдзена ў заметках Гільберта нямецкім гісторыкам навукі Рудыгерам Ціле ў 2000 годзе[18].

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Вынікі Гёделя і Коэна (Cohen) паказваюць, што ні кантынуум-гіпотэза, ні яе адмаўленне не супярэчыць сістэме аксіём Цэрмела — Фрэнкеля (стандартнай сістэме аксіём тэорыі мностваў). Такім чынам, кантынуум-гіпотэзу ў гэтай сістэме аксіём немагчыма ні даказаць, ні абвергнуць (пры ўмове, што гэтая сістэма аксіём несупярэчлівая).
  2. Курт Гёдэль даказаў, што несупярэчлівасць аксіём арыфметыкі нельга даказаць, зыходзячы з саміх аксіём арыфметыкі. У 1936 годзе Герхард Генцэн даказаў несупярэчлівасць арыфметыкі, выкарыстоўваючы прымітыўна рэкурсіўную арыфметыку з дадатковай аксіёмай для трансфінітнай індукцыі да ардынала ε0.
  3. Згодна з Ровам (Rowe) і Грэем (Gray) (гл. далей), большасць праблем была рэшана. Некаторыя з іх не былі дастаткова дакладна сфармуляваны, аднак дасягнутыя вынікі дазваляюць разглядаць іх як «рэшаныя». На думку Рова і Грэя, чацвёртая праблема вельмі невыразна пастаўлена, каб судзіць, рэшана яна ці не.
  4. L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.
  5. Вырашана Зігелем і Гельфандам (і незалежна Шнайдэрам) у больш агульным выглядзе: калі a ≠ 0, 1 — алгебраічны лік, і b — алгебраічны іррацыянальны, то abтрансцэндэнтны лік
  6. 8-я праблема ўключае дзве вядомыя праблемы, першая з якіх не рэшана, а другая рэшана часткова. Першая з іх, гіпотэза Рымана, з'яўляецца адной з сямі Праблем тысячагоддзя.
  7. Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…
  8. Major arcs for Goldbach's theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
  9. Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
  10. Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
  11. Праблема № 9 была вырашана для абелевага выпадку; неабелеў выпадак застаецца нявырашаным.
  12. Юрый Маціясевіч у 1970 годзе даказаў алгарытмічную невырашальнасць пытання аб тым, ці мае адвольнае дыяфантава ўраўненне хоць адно рашэнне. Першапачаткова праблема была сфармулявана Гільбертам не ў якасці дылемы, а ў якасці пошуку алгарытму: у той час, мабыць, нават не задумваліся пра тое, што можа існаваць адмоўнае рашэнне падобных праблем.
  13. Сцвярджэнне аб канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў даказана для адвольных дзеянняў рэдуктыўных груп на афінных алгебраічных мнагастайнасцях. Нагата ў 1958 годзе пабудаваў прыклад лінейнага дзеяння уніпатэнтнай групы на 32-мернай вектарнай прасторы, для якой алгебра інварыянтаў не з'яўляецца канечна спароджанай. В. Л. Папоў даказаў, што калі алгебра інварыянтаў любога дзеяння алгебраічнай групы G на афіннай алгебраічнай мнагастайнасці канечна спароджаная, то група G рэдуктыўная.
  14. Прыведзены пераклад зыходнай назвы праблемы, дадзенай Гільбертам: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen»(ням.) . Аднак, больш дакладна яе змест (як ён разглядаецца сёння) можна было б перадаць наступнай назвай: «Колькасць і размяшчэнне авалаў рэчаіснай алгебраічнай крывой дадзенай ступені на плоскасці; лік і размяшчэнне гранічных цыклаў полінаміяльнага вектарнага поля дадзенай ступені на плоскасці». Верагодна (як можна ўбачыць з англійскага перакладу тэксту анонса (англ.) ), Гільберт лічыў, што дыферэнцыяльная частка (якая ў рэальнасці аказалася значна цяжэйшая за алгебраічную) будзе паддавацца рашэнню тымі ж метадамі, што і алгебраічная, і таму не ўключыў яе ў назву.
  15. Першая (алгебраічная) частка праблемы № 16 больш дакладна фармулюецца так. Харнаком даказана, што максімальны лік авалаў ровен M=(n-1)(n-2)/2+1, і што такія крывыя існуюць — іх называюць M-крывымі. Як могуць быць размешчаны авалы M-крывой? Гэтая задача зроблена да ступені n = 6 уключна, а для ступені n = 8 даволі многа вядома (хоць яе яшчэ не дабілі). Акрамя таго, ёсць агульныя сцвярджэнні, якія абмяжоўваюць тое, як авалы M-крывых могуць быць размешчаны — гл. працы Гудкова, Арнольда, Роона, самога Гільберта (зрэшты, варта ўлічваць, што ў доказе Гільберта для n = 6 ёсць памылка: адзін з выпадкаў, лічымы ім немагчымым, аказаўся магчымым і быў пабудаваны Гудковым). Другая (дыферэнцыяльная) частка застаецца адкрытай нават для квадратычных вектарных палёў — невядома нават, колькі іх можа быць, і што ацэнка зверху існуе. Нават індывідуальная тэарэма канечнасці (тое, што ў кожнага полінаміяльнага вектарнага поля маецца канечны лік гранічных цыклаў) была даказаная толькі нядаўна. Яна лічылася даказанай Дзюлакам, але ў яго доказе была выяўлена памылка, і канчаткова гэтая тэарэма была даказана Ільяшэнкам і Экалем, для чаго кожнаму з іх прыйшлося напісаць па кнізе.
  16. Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.
  17. Роў і Грэй таксама называюць праблему № 18 «адкрытай» у сваёй кнізе за 2000, таму што задача ўпакоўкі шароў (вядомая таксама як задача Кеплера) не была вырашана к таму часу, аднак на сённяшні дзень ёсць звесткі пра тое, што яна ўжо вырашана (гл. далей). Прасоўванні ў рашэнні праблемы № 16 былі зробленыя ў нядаўні час, а таксама ў 1990-х.
  18. Rüdiger Thiele. Hilbert's twenty-fourth problem // The American Mathematical Monthly, January 2003, pp. 1-24.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]

Шаблон:Уклад Давіда Гільберта ў навуку