Праблемы Гільберта
Праблемы Гільберта — спіс з 23 кардынальных праблем матэматыкі, прадстаўлены Давідам Гільбертам на II Міжнародным Кангрэсе матэматыкаў у Парыжы ў 1900 годзе. Тады гэтыя праблемы (якія ахопліваюць асновы матэматыкі, алгебру, тэорыю лікаў, геаметрыю, тапалогію, алгебраічную геаметрыю, групы Лі, рэчаісны і камплексны аналіз, дыферэнцыяльныя ўраўненні, матэматычную фізіку і тэорыю імавернасцей, а таксама варыяцыйнае злічэнне) не былі рэшаны. На сёння вырашана 16 праблем з 23. Яшчэ 2 не з'яўляюцца карэктнымі матэматычнымі праблемамі (адна сфармулявана занадта расплыўчата, каб зразумець, вырашана яна ці не; другая, далёкая ад рашэння, — фізічная, а не матэматычная). З астатніх 5 праблем дзве не вырашаныя ніяк, а тры вырашаныя толькі для некаторых выпадкаў.
Спіс праблем[правіць | правіць зыходнік]
№ | Кароткая фармулёўка | Статус | Вынік | Год рашэння |
---|---|---|---|---|
1-я | Праблема Кантара аб магутнасці кантынуума (Кантынуум-гіпотэза) | рэшана[1] | Невырашальная ў ZFC | 1963 |
2-я | Несупярэчлівасць аксіём арыфметыкі. | няма кансэнсуса[2] | Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі | |
3-я | Роўнасастаўленасць роўнавялікіх мнагаграннікаў | рэшана | Абвергнута | 1900 |
4-я | Пералічыць метрыкі, у якіх прамыя з'яўляюцца геадэзічнымі лініямі | вельмі расплыўчатая[3] | Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі | |
5-я | Ці ўсе непарыўныя групы з'яўляюцца групамі Лі? | рэшана | Так | 1953 |
6-я | Матэматычная апрацоўка аксіём фізікі | часткова рэшана (у залежнасці ад інтэрпрэтацыі зыходнай пастаноўкі праблемы)[4] | ||
7-я | Ці з'яўляецца лік трансцэндэнтным (ці хаця б ірацыянальным)?[5] | рэшана | Так | 1935 |
8-я | Праблема простых лікаў (гіпотэза Рымана і праблема Гольдбаха) | часткова рэшана[6] | Даказана тэрнарная гіпотэза Гольдбаха[7][8][9][10]. | |
9-я | Доказ найбольш агульнага закона ўзаемнасці ў любым лікавым полі | часткова рэшана[11] | Даказана для абелевага выпадку | |
10-я | Ці ёсць універсальны алгарытм рашэння дыяфантавых ураўненняў? | рэшана[12] | Няма | 1970 |
11-я | Даследаванне квадратычных форм з адвольнымі алгебраічнымі лікавымі каэфіцыентамі | часткова рэшана | ||
12-я | Распаўсюджанне тэарэмы Кронекера аб абелевых палях на адвольную алгебраічную вобласць рацыянальнасці | не рэшана | ||
13-я | Ці можна рашыць агульнае ўраўненне сёмай ступені з дапамогай функцый, якія залежаць толькі ад дзвюх зменных? | рэшана | Так | 1957 |
14-я | Доказ канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў лінейнай алгебраічнай групы[13] | рэшана | Абвергнута | 1959 |
15-я | Строгае абгрунтаванне пералічальнай геаметрыі Шуберта | часткова рэшана | ||
16-я | Тапалогія алгебраічных крывых і паверхняў[14] | часткова рэшана[15] | ||
17-я | Ці можна прадставіць вызначаныя формы ў выглядзе сумы квадратаў | рэшана | Так | 1927 |
18-я |
|
рэшана[16][17] |
|
|
19-я | Ці заўсёды рашэнні рэгулярнай варыяцыйнай задачы Лагранжа з'яўляюцца аналітычнымі? | рэшана | Так | 1957 |
20-я | Ці ўсе варыяцыйныя задачы з вызначанымі межавымі ўмовамі маюць рашэнні? | рэшана | Так | ? |
21-я | Доказ існавання лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў з зададзенай групай монадраміі | рэшана | У залежнасці ад удакладнення фармулёўкі: ёсць / няма | ? |
22-я | Уніфармізацыя аналітычных залежнасцей з дапамогай аўтаморфных функцый | рэшана | ? | |
23-я | Развіццё метадаў варыяцыйнага злічэння | не рэшана |
24-я праблема[правіць | правіць зыходнік]
- Асноўны артыкул: 24-я праблема Гільберта
Першапачаткова спіс утрымліваў 24 праблемы, але ў працэсе падрыхтоўкі к дакладу Гільберт адмовіўся ад адной з іх. Гэтая праблема была звязана з тэорыяй доказаў крытэрыя прастаты і агульных метадаў. Дадзеная праблема была знойдзена ў заметках Гільберта нямецкім гісторыкам навукі Рудыгерам Ціле ў 2000 годзе[18].
Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]
Зноскі[правіць | правіць зыходнік]
- ↑ Вынікі Гёделя і Коэна (Cohen) паказваюць, што ні кантынуум-гіпотэза, ні яе адмаўленне не супярэчыць сістэме аксіём Цэрмела — Фрэнкеля (стандартнай сістэме аксіём тэорыі мностваў). Такім чынам, кантынуум-гіпотэзу ў гэтай сістэме аксіём немагчыма ні даказаць, ні абвергнуць (пры ўмове, што гэтая сістэма аксіём несупярэчлівая).
- ↑ Курт Гёдэль даказаў, што несупярэчлівасць аксіём арыфметыкі нельга даказаць, зыходзячы з саміх аксіём арыфметыкі. У 1936 годзе Герхард Генцэн даказаў несупярэчлівасць арыфметыкі, выкарыстоўваючы прымітыўна рэкурсіўную арыфметыку з дадатковай аксіёмай для трансфінітнай індукцыі да ардынала ε0.
- ↑ Згодна з Ровам (Rowe) і Грэем (Gray) (гл. далей), большасць праблем была рэшана. Некаторыя з іх не былі дастаткова дакладна сфармуляваны, аднак дасягнутыя вынікі дазваляюць разглядаць іх як «рэшаныя». На думку Рова і Грэя, чацвёртая праблема вельмі невыразна пастаўлена, каб судзіць, рэшана яна ці не.
- ↑ L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.
- ↑ Вырашана Зігелем і Гельфандам (і незалежна Шнайдэрам) у больш агульным выглядзе: калі a ≠ 0, 1 — алгебраічны лік, і b — алгебраічны іррацыянальны, то ab — трансцэндэнтны лік
- ↑ 8-я праблема ўключае дзве вядомыя праблемы, першая з якіх не рэшана, а другая рэшана часткова. Першая з іх, гіпотэза Рымана, з'яўляецца адной з сямі Праблем тысячагоддзя.
- ↑ Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…
- ↑ Major arcs for Goldbach's theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
- ↑ Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
- ↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
- ↑ Праблема № 9 была вырашана для абелевага выпадку; неабелеў выпадак застаецца нявырашаным.
- ↑ Юрый Маціясевіч у 1970 годзе даказаў алгарытмічную невырашальнасць пытання аб тым, ці мае адвольнае дыяфантава ўраўненне хоць адно рашэнне. Першапачаткова праблема была сфармулявана Гільбертам не ў якасці дылемы, а ў якасці пошуку алгарытму: у той час, мабыць, нават не задумваліся пра тое, што можа існаваць адмоўнае рашэнне падобных праблем.
- ↑ Сцвярджэнне аб канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў даказана для адвольных дзеянняў рэдуктыўных груп на афінных алгебраічных мнагастайнасцях. Нагата ў 1958 годзе пабудаваў прыклад лінейнага дзеяння уніпатэнтнай групы на 32-мернай вектарнай прасторы, для якой алгебра інварыянтаў не з'яўляецца канечна спароджанай. В. Л. Папоў даказаў, што калі алгебра інварыянтаў любога дзеяння алгебраічнай групы G на афіннай алгебраічнай мнагастайнасці канечна спароджаная, то група G рэдуктыўная.
- ↑ Прыведзены пераклад зыходнай назвы праблемы, дадзенай Гільбертам: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» (ням.). Аднак, больш дакладна яе змест (як ён разглядаецца сёння) можна было б перадаць наступнай назвай: «Колькасць і размяшчэнне авалаў рэчаіснай алгебраічнай крывой дадзенай ступені на плоскасці; лік і размяшчэнне гранічных цыклаў полінаміяльнага вектарнага поля дадзенай ступені на плоскасці». Верагодна (як можна ўбачыць з англійскага перакладу тэксту анонса (англ.)), Гільберт лічыў, што дыферэнцыяльная частка (якая ў рэальнасці аказалася значна цяжэйшая за алгебраічную) будзе паддавацца рашэнню тымі ж метадамі, што і алгебраічная, і таму не ўключыў яе ў назву.
- ↑ Першая (алгебраічная) частка праблемы № 16 больш дакладна фармулюецца так. Харнаком даказана, што максімальны лік авалаў ровен M=(n-1)(n-2)/2+1, і што такія крывыя існуюць — іх называюць M-крывымі. Як могуць быць размешчаны авалы M-крывой? Гэтая задача зроблена да ступені n = 6 уключна, а для ступені n = 8 даволі многа вядома (хоць яе яшчэ не дабілі). Акрамя таго, ёсць агульныя сцвярджэнні, якія абмяжоўваюць тое, як авалы M-крывых могуць быць размешчаны — гл. працы Гудкова, Арнольда, Роона, самога Гільберта (зрэшты, варта ўлічваць, што ў доказе Гільберта для n = 6 ёсць памылка: адзін з выпадкаў, лічымы ім немагчымым, аказаўся магчымым і быў пабудаваны Гудковым). Другая (дыферэнцыяльная) частка застаецца адкрытай нават для квадратычных вектарных палёў — невядома нават, колькі іх можа быць, і што ацэнка зверху існуе. Нават індывідуальная тэарэма канечнасці (тое, што ў кожнага полінаміяльнага вектарнага поля маецца канечны лік гранічных цыклаў) была даказаная толькі нядаўна. Яна лічылася даказанай Дзюлакам, але ў яго доказе была выяўлена памылка, і канчаткова гэтая тэарэма была даказана Ільяшэнкам і Экалем, для чаго кожнаму з іх прыйшлося напісаць па кнізе.
- ↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.
- ↑ Роў і Грэй таксама называюць праблему № 18 «адкрытай» у сваёй кнізе за 2000, таму што задача ўпакоўкі шароў (вядомая таксама як задача Кеплера) не была вырашана к таму часу, аднак на сённяшні дзень ёсць звесткі пра тое, што яна ўжо вырашана (гл. далей). Прасоўванні ў рашэнні праблемы № 16 былі зробленыя ў нядаўні час, а таксама ў 1990-х.
- ↑ Rüdiger Thiele. Hilbert's twenty-fourth problem // The American Mathematical Monthly, January 2003, pp. 1-24.
Літаратура[правіць | правіць зыходнік]
- Проблемы Гильберта / Сборник под общ. ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с.
- Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — МЦНМО, 1999. — Т. 2. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
- Демидов С. С. К истории проблем Гильберта // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1966. — № 17. — С. 91-122.
- Демидов С. С. «Математические проблемы» Гильберта и математика XX века // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 84-99.
- Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семенов В. В. Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений. — М.: «Диалектика», 2009. — 192 с. — ISBN 978-5-8459-1524-5.
- Rüdiger Thiele. Hilbert's twenty-fourth problem // The American Mathematical Monthly. — 2003. — № 110 (January). — С. 1-24.
Спасылкі[правіць | правіць зыходнік]
- Арыгінальны тэкст даклада Гільберта на нямецкай мове (ням.)
- Рускі пераклад даклада Гільберта (уводная частка і заключэнне) (руск.)