Праблемы Гільберта

Праблемы Гільберта — спіс з 23 кардынальных праблем матэматыкі, прадстаўлены Давідам Гільбертам на II Міжнародным Кангрэсе матэматыкаў у Парыжы ў 1900 годзе. Тады гэтыя праблемы (якія ахопліваюць асновы матэматыкі, алгебру, тэорыю лікаў, геаметрыю, тапалогію, алгебраічную геаметрыю, групы Лі, рэчаісны і камплексны аналіз, дыферэнцыяльныя ўраўненні, матэматычную фізіку і тэорыю імавернасцей, а таксама варыяцыйнае злічэнне) не былі рэшаны. На сёння вырашана 16 праблем з 23. Яшчэ 2 не з'яўляюцца карэктнымі матэматычнымі праблемамі (адна сфармулявана занадта расплыўчата, каб зразумець, вырашана яна ці не; другая, далёкая ад рашэння, — фізічная, а не матэматычная). З астатніх 5 праблем дзве не вырашаныя ніяк, а тры вырашаныя толькі для некаторых выпадкаў.

Спіс праблем

№	Кароткая фармулёўка	Статус	Вынік	Год рашэння
1-я	Праблема Кантара аб магутнасці кантынуума (Кантынуум-гіпотэза)	рэшана^[1]	Невырашальная ў ZFC	1963
2-я	Несупярэчлівасць аксіём арыфметыкі.	няма кансэнсуса^[2]	Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі
3-я	Роўнасастаўленасць роўнавялікіх мнагаграннікаў	рэшана	Абвергнута	1900
4-я	Пералічыць метрыкі, у якіх прамыя з'яўляюцца геадэзічнымі лініямі	вельмі расплыўчатая^[3]	Патрабуе ўдакладнення фармулёўкі
5-я	Ці ўсе непарыўныя групы з'яўляюцца групамі Лі?	рэшана	Так	1953
6-я	Матэматычная апрацоўка аксіём фізікі	часткова рэшана (у залежнасці ад інтэрпрэтацыі зыходнай пастаноўкі праблемы)^[4]
7-я	Ці з'яўляецца лік $2^{\sqrt {2}}$ трансцэндэнтным (ці хаця б ірацыянальным)?^[5]	рэшана	Так	1935
8-я	Праблема простых лікаў (гіпотэза Рымана і праблема Гольдбаха)	часткова рэшана^[6]	Даказана тэрнарная гіпотэза Гольдбаха^[7]^[8]^[9]^[10].
9-я	Доказ найбольш агульнага закона ўзаемнасці ў любым лікавым полі	часткова рэшана^[11]	Даказана для абелевага выпадку
10-я	Ці ёсць універсальны алгарытм рашэння дыяфантавых ураўненняў?	рэшана^[12]	Няма	1970
11-я	Даследаванне квадратычных форм з адвольнымі алгебраічнымі лікавымі каэфіцыентамі	часткова рэшана
12-я	Распаўсюджанне тэарэмы Кронекера аб абелевых палях на адвольную алгебраічную вобласць рацыянальнасці	не рэшана
13-я	Ці можна рашыць агульнае ўраўненне сёмай ступені з дапамогай функцый, якія залежаць толькі ад дзвюх зменных?	рэшана	Так	1957
14-я	Доказ канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў лінейнай алгебраічнай групы^[13]	рэшана	Абвергнута	1959
15-я	Строгае абгрунтаванне пералічальнай геаметрыі Шуберта	часткова рэшана
16-я	Тапалогія алгебраічных крывых і паверхняў^[14]	часткова рэшана^[15]
17-я	Ці можна прадставіць вызначаныя формы ў выглядзе сумы квадратаў	рэшана	Так	1927
18-я	Ці канечны лік крышталеграфічных груп? Ці існуюць нерэгулярныя запаўненні прасторы кангруэнтнымі мнагаграннікамі? Ці з'яўляюцца гексаганальная і кубічная гранецэнтраваная ўпакоўкі шароў найбольш шчыльнымі?	рэшана^[16]^[17]	Так Так Так	? 1928 1998
19-я	Ці заўсёды рашэнні рэгулярнай варыяцыйнай задачы Лагранжа з'яўляюцца аналітычнымі?	рэшана	Так	1957
20-я	Ці ўсе варыяцыйныя задачы з вызначанымі межавымі ўмовамі маюць рашэнні?	рэшана	Так	?
21-я	Доказ існавання лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў з зададзенай групай монадраміі	рэшана	У залежнасці ад удакладнення фармулёўкі: ёсць / няма	?
22-я	Уніфармізацыя аналітычных залежнасцей з дапамогай аўтаморфных функцый	рэшана		?
23-я	Развіццё метадаў варыяцыйнага злічэння	не рэшана

24-я праблема

Асноўны артыкул: 24-я праблема Гільберта^be_en

Першапачаткова спіс утрымліваў 24 праблемы, але ў працэсе падрыхтоўкі к дакладу Гільберт адмовіўся ад адной з іх. Гэтая праблема была звязана з тэорыяй доказаў крытэрыя прастаты і агульных метадаў. Дадзеная праблема была знойдзена ў заметках Гільберта нямецкім гісторыкам навукі Рудыгерам Ціле ў 2000 годзе^[18].

Гл. таксама

Зноскі

↑ Вынікі Гёделя і Коэна (Cohen) паказваюць, што ні кантынуум-гіпотэза, ні яе адмаўленне не супярэчыць сістэме аксіём Цэрмела — Фрэнкеля (стандартнай сістэме аксіём тэорыі мностваў). Такім чынам, кантынуум-гіпотэзу ў гэтай сістэме аксіём немагчыма ні даказаць, ні абвергнуць (пры ўмове, што гэтая сістэма аксіём несупярэчлівая).
↑ Курт Гёдэль даказаў, што несупярэчлівасць аксіём арыфметыкі нельга даказаць, зыходзячы з саміх аксіём арыфметыкі. У 1936 годзе Герхард Генцэн даказаў несупярэчлівасць арыфметыкі, выкарыстоўваючы прымітыўна рэкурсіўную арыфметыку з дадатковай аксіёмай для трансфінітнай індукцыі да ардынала ε₀.
↑ Згодна з Ровам (Rowe) і Грэем (Gray) (гл. далей), большасць праблем была рэшана. Некаторыя з іх не былі дастаткова дакладна сфармуляваны, аднак дасягнутыя вынікі дазваляюць разглядаць іх як «рэшаныя». На думку Рова і Грэя, чацвёртая праблема вельмі невыразна пастаўлена, каб судзіць, рэшана яна ці не.
↑ L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.
↑ Вырашана Зігелем і Гельфандам (і незалежна Шнайдэрам) у больш агульным выглядзе: калі a ≠ 0, 1 — алгебраічны лік, і b — алгебраічны іррацыянальны, то a^b — трансцэндэнтны лік
↑ 8-я праблема ўключае дзве вядомыя праблемы, першая з якіх не рэшана, а другая рэшана часткова. Першая з іх, гіпотэза Рымана, з'яўляецца адной з сямі Праблем тысячагоддзя.
↑ Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…
↑ Major arcs for Goldbach's theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
↑ Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
↑ Праблема № 9 была вырашана для абелевага выпадку; неабелеў выпадак застаецца нявырашаным.
↑ Юрый Маціясевіч у 1970 годзе даказаў алгарытмічную невырашальнасць пытання аб тым, ці мае адвольнае дыяфантава ўраўненне хоць адно рашэнне. Першапачаткова праблема была сфармулявана Гільбертам не ў якасці дылемы, а ў якасці пошуку алгарытму: у той час, мабыць, нават не задумваліся пра тое, што можа існаваць адмоўнае рашэнне падобных праблем.
↑ Сцвярджэнне аб канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў даказана для адвольных дзеянняў рэдуктыўных груп на афінных алгебраічных мнагастайнасцях. Нагата ў 1958 годзе пабудаваў прыклад лінейнага дзеяння уніпатэнтнай групы на 32-мернай вектарнай прасторы, для якой алгебра інварыянтаў не з'яўляецца канечна спароджанай. В. Л. Папоў даказаў, што калі алгебра інварыянтаў любога дзеяння алгебраічнай групы G на афіннай алгебраічнай мнагастайнасці канечна спароджаная, то група G рэдуктыўная.
↑ Прыведзены пераклад зыходнай назвы праблемы, дадзенай Гільбертам: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» (ням.). Аднак, больш дакладна яе змест (як ён разглядаецца сёння) можна было б перадаць наступнай назвай: «Колькасць і размяшчэнне авалаў рэчаіснай алгебраічнай крывой дадзенай ступені на плоскасці; лік і размяшчэнне гранічных цыклаў полінаміяльнага вектарнага поля дадзенай ступені на плоскасці». Верагодна (як можна ўбачыць з англійскага перакладу тэксту анонса (англ.)), Гільберт лічыў, што дыферэнцыяльная частка (якая ў рэальнасці аказалася значна цяжэйшая за алгебраічную) будзе паддавацца рашэнню тымі ж метадамі, што і алгебраічная, і таму не ўключыў яе ў назву.
↑ Першая (алгебраічная) частка праблемы № 16 больш дакладна фармулюецца так. Харнаком даказана, што максімальны лік авалаў ровен M=(n-1)(n-2)/2+1, і што такія крывыя існуюць — іх называюць M-крывымі. Як могуць быць размешчаны авалы M-крывой? Гэтая задача зроблена да ступені n = 6 уключна, а для ступені n = 8 даволі многа вядома (хоць яе яшчэ не дабілі). Акрамя таго, ёсць агульныя сцвярджэнні, якія абмяжоўваюць тое, як авалы M-крывых могуць быць размешчаны — гл. працы Гудкова, Арнольда, Роона, самога Гільберта (зрэшты, варта ўлічваць, што ў доказе Гільберта для n = 6 ёсць памылка: адзін з выпадкаў, лічымы ім немагчымым, аказаўся магчымым і быў пабудаваны Гудковым). Другая (дыферэнцыяльная) частка застаецца адкрытай нават для квадратычных вектарных палёў — невядома нават, колькі іх можа быць, і што ацэнка зверху існуе. Нават індывідуальная тэарэма канечнасці (тое, што ў кожнага полінаміяльнага вектарнага поля маецца канечны лік гранічных цыклаў) была даказаная толькі нядаўна. Яна лічылася даказанай Дзюлакам, але ў яго доказе была выяўлена памылка, і канчаткова гэтая тэарэма была даказана Ільяшэнкам і Экалем, для чаго кожнаму з іх прыйшлося напісаць па кнізе.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.
↑ Роў і Грэй таксама называюць праблему № 18 «адкрытай» у сваёй кнізе за 2000, таму што задача ўпакоўкі шароў (вядомая таксама як задача Кеплера) не была вырашана к таму часу, аднак на сённяшні дзень ёсць звесткі пра тое, што яна ўжо вырашана (гл. далей). Прасоўванні ў рашэнні праблемы № 16 былі зробленыя ў нядаўні час, а таксама ў 1990-х.
↑ Rüdiger Thiele. Hilbert's twenty-fourth problem // The American Mathematical Monthly, January 2003, pp. 1-24.

Літаратура

Проблемы Гильберта / Сборник под общ. ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. Архівавана 13 лютага 2018.
Болибрух А. А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя). — МЦНМО, 1999. — Т. 2. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). Архівавана 23 жніўня 2018.
Демидов С. С. К истории проблем Гильберта // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1966. — № 17. — С. 91-122.
Демидов С. С. «Математические проблемы» Гильберта и математика XX века // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 84-99.
Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семенов В. В. Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений. — М.: «Диалектика», 2009. — 192 с. — ISBN 978-5-8459-1524-5. Архівавана 5 сакавіка 2016.
Rüdiger Thiele. Hilbert's twenty-fourth problem // The American Mathematical Monthly. — 2003. — № 110 (January). — С. 1-24.

Спасылкі

Арыгінальны тэкст даклада Гільберта на нямецкай мове (ням.)
Рускі пераклад даклада Гільберта (уводная частка і заключэнне) (руск.)

[1] Вынікі Гёделя і Коэна (Cohen) паказваюць, што ні кантынуум-гіпотэза, ні яе адмаўленне не супярэчыць сістэме аксіём Цэрмела — Фрэнкеля (стандартнай сістэме аксіём тэорыі мностваў). Такім чынам, кантынуум-гіпотэзу ў гэтай сістэме аксіём немагчыма ні даказаць, ні абвергнуць (пры ўмове, што гэтая сістэма аксіём несупярэчлівая).

[2] Курт Гёдэль даказаў, што несупярэчлівасць аксіём арыфметыкі нельга даказаць, зыходзячы з саміх аксіём арыфметыкі. У 1936 годзе Герхард Генцэн даказаў несупярэчлівасць арыфметыкі, выкарыстоўваючы прымітыўна рэкурсіўную арыфметыку з дадатковай аксіёмай для трансфінітнай індукцыі да ардынала ε₀.

[3] Згодна з Ровам (Rowe) і Грэем (Gray) (гл. далей), большасць праблем была рэшана. Некаторыя з іх не былі дастаткова дакладна сфармуляваны, аднак дасягнутыя вынікі дазваляюць разглядаць іх як «рэшаныя». На думку Рова і Грэя, чацвёртая праблема вельмі невыразна пастаўлена, каб судзіць, рэшана яна ці не.

[4] L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894—1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), no. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141.

[5] Вырашана Зігелем і Гельфандам (і незалежна Шнайдэрам) у больш агульным выглядзе: калі a ≠ 0, 1 — алгебраічны лік, і b — алгебраічны іррацыянальны, то a^b — трансцэндэнтны лік

[6] 8-я праблема ўключае дзве вядомыя праблемы, першая з якіх не рэшана, а другая рэшана часткова. Першая з іх, гіпотэза Рымана, з'яўляецца адной з сямі Праблем тысячагоддзя.

[7] Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…

[8] Major arcs for Goldbach's theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897

[9] Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013

[10] Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913

[11] Праблема № 9 была вырашана для абелевага выпадку; неабелеў выпадак застаецца нявырашаным.

[12] Юрый Маціясевіч у 1970 годзе даказаў алгарытмічную невырашальнасць пытання аб тым, ці мае адвольнае дыяфантава ўраўненне хоць адно рашэнне. Першапачаткова праблема была сфармулявана Гільбертам не ў якасці дылемы, а ў якасці пошуку алгарытму: у той час, мабыць, нават не задумваліся пра тое, што можа існаваць адмоўнае рашэнне падобных праблем.

[13] Сцвярджэнне аб канечнай спароджанасці алгебры інварыянтаў даказана для адвольных дзеянняў рэдуктыўных груп на афінных алгебраічных мнагастайнасцях. Нагата ў 1958 годзе пабудаваў прыклад лінейнага дзеяння уніпатэнтнай групы на 32-мернай вектарнай прасторы, для якой алгебра інварыянтаў не з'яўляецца канечна спароджанай. В. Л. Папоў даказаў, што калі алгебра інварыянтаў любога дзеяння алгебраічнай групы G на афіннай алгебраічнай мнагастайнасці канечна спароджаная, то група G рэдуктыўная.

[14] Прыведзены пераклад зыходнай назвы праблемы, дадзенай Гільбертам: «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen» (ням.). Аднак, больш дакладна яе змест (як ён разглядаецца сёння) можна было б перадаць наступнай назвай: «Колькасць і размяшчэнне авалаў рэчаіснай алгебраічнай крывой дадзенай ступені на плоскасці; лік і размяшчэнне гранічных цыклаў полінаміяльнага вектарнага поля дадзенай ступені на плоскасці». Верагодна (як можна ўбачыць з англійскага перакладу тэксту анонса (англ.)), Гільберт лічыў, што дыферэнцыяльная частка (якая ў рэальнасці аказалася значна цяжэйшая за алгебраічную) будзе паддавацца рашэнню тымі ж метадамі, што і алгебраічная, і таму не ўключыў яе ў назву.

[15] Першая (алгебраічная) частка праблемы № 16 больш дакладна фармулюецца так. Харнаком даказана, што максімальны лік авалаў ровен M=(n-1)(n-2)/2+1, і што такія крывыя існуюць — іх называюць M-крывымі. Як могуць быць размешчаны авалы M-крывой? Гэтая задача зроблена да ступені n = 6 уключна, а для ступені n = 8 даволі многа вядома (хоць яе яшчэ не дабілі). Акрамя таго, ёсць агульныя сцвярджэнні, якія абмяжоўваюць тое, як авалы M-крывых могуць быць размешчаны — гл. працы Гудкова, Арнольда, Роона, самога Гільберта (зрэшты, варта ўлічваць, што ў доказе Гільберта для n = 6 ёсць памылка: адзін з выпадкаў, лічымы ім немагчымым, аказаўся магчымым і быў пабудаваны Гудковым). Другая (дыферэнцыяльная) частка застаецца адкрытай нават для квадратычных вектарных палёў — невядома нават, колькі іх можа быць, і што ацэнка зверху існуе. Нават індывідуальная тэарэма канечнасці (тое, што ў кожнага полінаміяльнага вектарнага поля маецца канечны лік гранічных цыклаў) была даказаная толькі нядаўна. Яна лічылася даказанай Дзюлакам, але ў яго доказе была выяўлена памылка, і канчаткова гэтая тэарэма была даказана Ільяшэнкам і Экалем, для чаго кожнаму з іх прыйшлося напісаць па кнізе.

[16] Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.

[17] Роў і Грэй таксама называюць праблему № 18 «адкрытай» у сваёй кнізе за 2000, таму што задача ўпакоўкі шароў (вядомая таксама як задача Кеплера) не была вырашана к таму часу, аднак на сённяшні дзень ёсць звесткі пра тое, што яна ўжо вырашана (гл. далей). Прасоўванні ў рашэнні праблемы № 16 былі зробленыя ў нядаўні час, а таксама ў 1990-х.

[18] Rüdiger Thiele. Hilbert's twenty-fourth problem // The American Mathematical Monthly, January 2003, pp. 1-24.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

Слоўнікі і энцыклапедыі	Вялікая кітайская · Вялікая расійская (старая версія) · Britannica (онлайн) · Universalis
Нарматыўны кантроль	BNF: 123904018 · GND: 4159859-3 · Microsoft: 122678767 · SUDOC: 032990022