Размах (статыстыка)

З пляцоўкі Вікіпедыя

У арыфметыцы размах[1] набору, рада або выбаркі даных вызначаецца як розніца паміж найбольшым і найменшым значэннем,[2] або як найбольшая розніца паміж максімумам і мінімумам выбаркі.[3] Ён выражаецца ў тых жа адзінках вымярэння, што і ў арыгінальных даных.

Тым жа часам у апісальнай статыстыцы, канцэпцыя размаху мае больш складанае значэнне. Так, размахам можна назваць найменшы інтэрвал, які ўключае ўсе даныя выбаркі і адзначае статыстычную дысперсію. З-за таго, што размах залежыць толькі ад двух крайніх значэнняў (назіранняў), ён найбольш выкарыстоўваецца для апісання дысперсіі невялікіх набораў даных.

Непарыўныя незалежныя ідэнтычна размеркаваныя (НІР) выпадковыя велічыні[правіць | правіць зыходнік]

Для непарыўных незалежных і ідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь з функцыяй размеркавання і функцыяй шчыльнасці імавернасці . У гэтым выпадку выпадковая велічыня абазначае іх размах, і вызначаецца як рознасць паміж найвялікшым і найменшым значэннем сярод , такім чынам .

Размеркаванне[правіць | правіць зыходнік]

Размах мае інтэгральную функцыю размеркавання[4][5]

.

(пры ; калі , то ).

Гумбель адзначаў, што «прыгажосць гэтай формулы цалкам псуецца тым фактам, што агулам мы не можам выразіць з дапамогай і што лікавае інтэграванне задоўгае і ўтомнае».[4]

Калі размеркаванне кожнай абмежаваны справа (або злева), тады асімптатычнае размеркаванне размаху роўна асімптатычнаму размеркаванню найвялікшай (найменшай) велічыні. Для больш агульных размеркаванняў асімптатычнае размеркаванне можа быць выражана як функцыя Беселя.[4]

Моманты[правіць | правіць зыходнік]

Сярэдні размах задаецца формулай[6]

.

дзе — адваротная функцыя. У выпадку, калі кожная мае стандартнае нармальнае размеркаванне, сярэдні размах прадстаўляецца як[7]

.

Непарыўныя незалежныя неідэнтычна размеркаваныя (ННР) выпадковыя велічыні[правіць | правіць зыходнік]

Для непарыўных незалежных неідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь з функцыямі размеркавання і функцыямі шчыльнасці імавернасці , размах мае функцыю размеркавання[5]

.

Дыскрэтныя НІР выпадковыя велічыні[правіць | правіць зыходнік]

Для дыскрэтных непарыўных незалежных ідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь з функцыяй размеркавання і функцыяй шчыльнасці імавернасці размах — гэта размах выбаркі памерам з папуляцыі з функцыяй размеркавання . Мы можам лічыць без страты агульнасці, што носьбіт кожнай — гэта , дзе — дадатны цэлы лік або бясконцасць.[8][9]

Размеркаванне[правіць | правіць зыходнік]

Размах мае функцыю размеркавання мас[8][10][11]

Прыклад[правіць | правіць зыходнік]

Калі мы лічым, што дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне для ўсіх , тады мы знойдзем, што[10][12]

Звязаныя велічыні[правіць | правіць зыходнік]

Размах — гэта спецыфічны прыклад парадкавай статыстыкі. У прыватнасці, размах — гэта лінейная функцыя парадкавай статыстыкі, якая ўносіць яго ў поле L-ацэньвання.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Зноскі

  1. Размах выбаркі // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001. — С. 302.
  2. George Woodbury (2001). An Introduction to Statistics. p. 74. ISBN 0534377556. 
  3. Ю. H. Макарычев, Н. Г. Миндюк, С. Б. Суворова, И. С. Шлыкова (2007). "3" (in ru). Изучение алгебры в 7—9 классах. Пособие для учителей. ISBN 978-5-09-024920-1. 
  4. а б в E. J. Gumbel (1947). "The Distribution of the Range" (in en). The Annals of Mathematical Statistics 18 (3): 384–412. doi:10.1214/aoms/1177730387. https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1947-09_18_3/page/384. 
  5. а б Tsimashenka, I.; Knottenbelt, W.; Harrison, P. (2012). "Controlling Variability in Split-Merge Systems". Analytical and Stochastic Modeling Techniques and Applications. Lecture Notes in Computer Science. 7314. pp. 165. doi:10.1007/978-3-642-30782-9_12. ISBN 978-3-642-30781-2. http://www.doc.ic.ac.uk/~wjk/publications/tsimashenka-knottenbelt-harrison-asmta-2012.pdf. 
  6. H. O. Hartley; H. A. David (1954). "Universal Bounds for Mean Range and Extreme Observation". The Annals of Mathematical Statistics 25 (1): 85–99. doi:10.1214/aoms/1177728848. https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1954-03_25_1/page/85. 
  7. L. H. C. Tippett (1925). "On the Extreme Individuals and the Range of Samples Taken from a Normal Population". Biometrika 17 (3/4): 364–387. doi:10.1093/biomet/17.3-4.364. 
  8. а б Evans, D. L.; Leemis, L. M.; Drew, J. H. (2006). "The Distribution of Order Statistics for Discrete Random Variables with Applications to Bootstrapping". INFORMS Journal on Computing 18: 19. doi:10.1287/ijoc.1040.0105. 
  9. Irving W. Burr (1955). "Calculation of Exact Sampling Distribution of Ranges from a Discrete Population". The Annals of Mathematical Statistics 26 (3): 530–532. doi:10.1214/aoms/1177728500. https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematical-statistics_1955-09_26_3/page/530. 
  10. а б Abdel-Aty, S. H. (1954). "Ordered variables in discontinuous distributions". Statistica Neerlandica 8 (2): 61–82. doi:10.1111/j.1467-9574.1954.tb00442.x. 
  11. Siotani, M. (1956). "Order statistics for discrete case with a numerical application to the binomial distribution". Annals of the Institute of Statistical Mathematics 8: 95–96. doi:10.1007/BF02863574. 
  12. Paul R. Rider (1951). "The Distribution of the Range in Samples from a Discrete Rectangular Population". Journal of the American Statistical Association 46 (255): 375–378. doi:10.1080/01621459.1951.10500796. https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1951-09_46_255/page/375. 

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]