Размах (статыстыка)

У арыфметыцы размах набору, рада або выбаркі даных вызначаецца як розніца паміж найбольшым і найменшым значэннем, або як найбольшая розніца паміж максімумам і мінімумам выбаркі. Ён выражаецца ў тых жа адзінках вымярэння, што і ў арыгінальных даных.

Тым жа часам у апісальнай статыстыцы, канцэпцыя размаху мае больш складанае значэнне. Так, размахам можна назваць найменшы інтэрвал, які ўключае ўсе даныя выбаркі і адзначае статыстычную дысперсію. З-за таго, што размах залежыць толькі ад двух крайніх значэнняў (назіранняў), ён найбольш выкарыстоўваецца для апісання дысперсіі невялікіх набораў даных.

Непарыўныя незалежныя ідэнтычна размеркаваныя (НІР) выпадковыя велічыні

Для $n$ непарыўных незалежных і ідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь $X_{1},X_{2},...,X_{n}$з функцыяй размеркавання $G(x)$ і функцыяй шчыльнасці імавернасці $g(x)$. У гэтым выпадку выпадковая велічыня $T_{n}$ абазначае іх размах, і вызначаецца як рознасць паміж найвялікшым і найменшым значэннем сярод $X_{1},X_{2},...,X_{n}$, такім чынам $T_{n}=max(X_{1},X_{2},...,X_{n})-min(X_{1},X_{2},...,X_{n})$.

Размеркаванне

Размах $T_{n}$ мае інтэгральную функцыю размеркавання

$F\{T_{n}\leq t\}=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1}{\text{d}}x$.

(пры $t\geq 0$; калі $t<0$, то $F\{T\leq t\}=0$).

Гумбель адзначаў, што «прыгажосць гэтай формулы цалкам псуецца тым фактам, што агулам мы не можам выразіць $G(x+t)$ з дапамогай $G(x)$ і што лікавае інтэграванне задоўгае і ўтомнае».

Калі размеркаванне кожнай $X_{i}$ абмежаваны справа (або злева), тады асімптатычнае размеркаванне размаху роўна асімптатычнаму размеркаванню найвялікшай (найменшай) велічыні. Для больш агульных размеркаванняў асімптатычнае размеркаванне можа быць выражана як функцыя Беселя.

Моманты

Сярэдні размах задаецца формулай

$n\int _{0}^{1}x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}]\,{\text{d}}G$.

дзе $x(G)$ — адваротная функцыя. У выпадку, калі кожная $X_{i}$ мае стандартнае нармальнае размеркаванне, сярэдні размах прадстаўляецца як

$\int _{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x$.

Непарыўныя незалежныя неідэнтычна размеркаваныя (ННР) выпадковыя велічыні

Для $n$ непарыўных незалежных неідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ з функцыямі размеркавання $G_{1}(x),G_{2}(x),...,G_{n}(x)$ і функцыямі шчыльнасці імавернасці $g_{1}(x),g_{2}(x),...,g_{n}(x)$, размах мае функцыю размеркавання

$F(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }g_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[G_{j}(x+t)-G_{j}(x)]\,{\text{d}}x$.

Дыскрэтныя НІР выпадковыя велічыні

Для $n$ дыскрэтных непарыўных незалежных ідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ з функцыяй размеркавання $G(x)$ і функцыяй шчыльнасці імавернасці $g(x)$ размах $X_{i}$ — гэта размах выбаркі памерам $n$ з папуляцыі з функцыяй размеркавання $G(x)$. Мы можам лічыць без страты агульнасці, што носьбіт кожнай $X_{i}$ — гэта $\{1,2,3,...,N\}$, дзе $N$ — дадатны цэлы лік або бясконцасць.

Размеркаванне

Размах мае функцыю размеркавання мас

$f(t)={\begin{cases}\sum _{x=1}^{N}[g(x)]^{n}&t=0\\[6pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left({\begin{alignedat}{2}&[G(x+t)-G(x-1)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t)-G(x)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t-1)-G(x-1)]^{n}\\{}+{}&[G(x+t-1)-G(x)]^{n}\\\end{alignedat}}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}$

Прыклад

Калі мы лічым, што $g(x)=1/N$ — дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне для ўсіх $x$, тады мы знойдзем, што

$f(t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\[4pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left(\left[{\frac {t+1}{N}}\right]^{n}-2\left[{\frac {t}{N}}\right]^{n}+\left[{\frac {t-1}{N}}\right]^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}$

Звязаныя велічыні

Размах — гэта спецыфічны прыклад парадкавай статыстыкі. У прыватнасці, размах — гэта лінейная функцыя парадкавай статыстыкі, якая ўносіць яго ў поле L-ацэньвання.

Гл. таксама

• Матэматычная статыстыка

Літаратура

• A Hald. Statistical Theory with Engineering Applications (англ.) . — John Wiley and Sons, Inc.; 1st Edition (January 1, 1952), 1952. — 783 с. — ISBN 978-0471340560.