З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі
Размеркаванне Фішэра — Снедэкора
Шчыльнасць імавернасці
Функцыя размеркавання
Параметры
d 1 , d 2 > 0 ступені свабоды [en] Носьбіт функцыі [en]
x
∈
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}
d
1
=
1
{\displaystyle d_{1}=1}
x
∈
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}
Шчыльнасць імавернасці
(
d
1
x
)
d
1
d
2
d
2
(
d
1
x
+
d
2
)
d
1
+
d
2
x
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}
Функцыя размеркавання
I
d
1
x
d
1
x
+
d
2
(
d
1
2
,
d
2
2
)
{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}
Матэматычнае спадзяванне
d
2
d
2
−
2
{\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}
d 2 > 2 Мода
d
1
−
2
d
1
d
2
d
2
+
2
{\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}
d 1 > 2 Дысперсія
2
d
2
2
(
d
1
+
d
2
−
2
)
d
1
(
d
2
−
2
)
2
(
d
2
−
4
)
{\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}
d 2 > 4 Каэфіцыент асіметрыі
(
2
d
1
+
d
2
−
2
)
8
(
d
2
−
4
)
(
d
2
−
6
)
d
1
(
d
1
+
d
2
−
2
)
{\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}
d 2 > 6 Энтрапія [en]
ln
Γ
(
d
1
2
)
+
ln
Γ
(
d
2
2
)
−
ln
Γ
(
d
1
+
d
2
2
)
+
{\displaystyle \ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!}
(
1
−
d
1
2
)
ψ
(
1
+
d
1
2
)
−
(
1
+
d
2
2
)
ψ
(
1
+
d
2
2
)
{\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!}
+
(
d
1
+
d
2
2
)
ψ
(
d
1
+
d
2
2
)
+
ln
d
1
d
2
{\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!}
[ 1]
Размеркаванне Фішэра — Снедэкора або F-размеркаванне — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей , якое часта паўстае ў якасці нулявога размеркавання [en] статыстычнага крытэрыю [en] дысперсійным аналізе [en] F-крытэрыях [en] Рональда Фішэра і Джорджа Снедэкора [en] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5]
Размеркаванне Фішэра — Снедэкора з d 1 і d 2 ступенямі свабоды мае выпадковая велічыня
X
=
S
1
/
d
1
S
2
/
d
2
{\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}
дзе
S
1
{\textstyle S_{1}}
S
2
{\textstyle S_{2}}
хі-квадрат размеркаваныя выпадковыя велічыні з ступенямі свабоды, адпаведна,
d
1
{\textstyle d_{1}}
d
2
{\textstyle d_{2}}
Можна паказаць, што шчыльнасць імавернасці X мае выгляд
f
(
x
;
d
1
,
d
2
)
=
(
d
1
x
)
d
1
d
2
d
2
(
d
1
x
+
d
2
)
d
1
+
d
2
x
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
=
1
B
(
d
1
2
,
d
2
2
)
(
d
1
d
2
)
d
1
/
2
x
d
1
/
2
−
1
(
1
+
d
1
d
2
x
)
−
(
d
1
+
d
2
)
/
2
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{aligned}}}
для рэчаісных x > 0, дзе
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
бэта-функцыя . У многіх прымяненнях параметры d 1 і d 2 цэлыя , але размеркаванне існуе і з рэчаіснымі дадатнымі значэннямі параметраў.
Функцыя імавернасці мае выгляд
F
(
x
;
d
1
,
d
2
)
=
I
d
1
x
/
(
d
1
x
+
d
2
)
(
d
1
2
,
d
2
2
)
,
{\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}
дзе I — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя .
↑ Lazo, A.V.; Rathie, P. (1978). "On the entropy of continuous probability distributions". IEEE Transactions on Information Theory . 24 (1). IEEE: 120–122. doi :10.1109/tit.1978.1055832 . ↑ Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27) . Wiley. ISBN 0-471-58494-0 ↑ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , рэд-ры (1983) [Чэрвень 1964]. "Chapter 26" . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .↑ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook — F Distribution
↑ Mood, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Introduction to the Theory of Statistics (Third ed.). McGraw-Hill. pp. 246–249. ISBN 0-07-042864-6
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5430b3cf7364aa25f07dea492a36a0565ba16a1)
