Ранг матрыцы

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Рангам сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы з радкоў і слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выражаецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.

Ранг матрыцы — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, няроўных нулю.

Ранг матрыцы — размернасць вобраза лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.

Звычайна ранг матрыцы абазначаецца () або . Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрага іншых моў.

Азначэнне[правіць | правіць зыходнік]

Хай  — прамавугольная матрыца.

Тады па азначэнні рангам матрыцы з'яўляецца:

  • нуль, калі  — нулявая матрыца;
  • лік , дзе  — мінор матрыцы парадку , а  — аблямоўваючы яго мінор парадку , калі яны існуюць.

Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў). Хай усе міноры матрыцы парадку роўныя нулю (). Тады , калі яны існуюць.


Звязаныя азначэнні[правіць | правіць зыходнік]

  • Ранг матрыцы памеру называюць поўным, калі .
  • Базісны мінор матрыцы  — любы ненулявы мінор матрыцы парадку , дзе .
    • Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца базіснымі радкамі і слупкамі. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)

Уласцівасці[правіць | правіць зыходнік]

  • Тэарэма (аб базісным міноры): Няхай  — базісны мінор матрыцы , тады:
    1. базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя;
    2. любы радок (слупок) матрыцы ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў).
  • Следства:
    • Калі ранг матрыцы роўны , то любыя радкоў ці слупкоў гэтай матрыцы будуць лінейна залежныя.
    • Калі  — квадратная матрыца, і , то радкі і слупкі гэтай матрыцы лінейна залежныя.
    • Хай , тады максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў (слупкоў) гэтай матрыцы роўная .
  • Тэарэма (аб інварыянтнасці рангу пры элементарных пераўтварэннях): Увядзём абазначэнне для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі , то іх рангі роўныя.
  • Тэарэма Кронекера — Капелі: Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў сумесная тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўны рангу яе пашыранай матрыцы. У прыватнасці:
    • Колькасць галоўных пераменных сістэмы роўна рангу сістэмы.
    • Сумесная сістэма будзе вызначанай (яе рашэнне адзіным), калі ранг сістэмы роўны ліку ўсіх яе зменных.

Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы[правіць | правіць зыходнік]

Няхай  — матрыца памеру над полем (або ). Няхай  — лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае ў стандартным базісе; гэта значыць, што . Ранг матрыцы  — гэта размернасць вобласці значэнняў пераўтварэння .

Метады[правіць | правіць зыходнік]

Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:

  • Метад элементарных пераўтварэнняў
Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеньчатай формы пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.
  • Метад аблямоўваючых мінораў
Няхай ў матрыцы знойдзены ненулявы мінор -га парадку . Разгледзім усе міноры -га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор ; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны . У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца.