Графікі трыганаметрычных функцый:
сінуса косінуса тангенса катангенса секанса касеканса
Трыганаметры́чныя фу́нкцыі — элементарныя функцыі, якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі, а пасля і на ўсе камплексныя. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй.
Да трыганаметрычных функцый адносяцца:
- прамыя трыганаметрычныя функцыі
- сінус (
)
- косінус (
)
- вытворныя трыганаметрычныя функцыі
- тангенс (
)
- катангенс (
)
- іншыя трыганаметрычныя функцыі
- секанс (
)
- касеканс (
)
У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца
.
Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).
Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах
, а катангенс і касеканс — у пунктах
.
Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка[правіць | правіць зыходнік]
Прамавугольны трохвугольнік
Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай OAB — трохвугольнік з вуглом α. Тады:
- Сінусам вугла
называецца дзель
(адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
- Косінусам вугла
называецца дзель
(адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
- Тангенсам вугла
называецца дзель
(адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
- Катангенсам вугла
называецца дзель
(адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
- Секансам вугла
называецца дзель
(адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
- Касекансам вугла
называецца дзель
(адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).
Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце O, напрамкам восі абсцыс уздоўж OA і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.
Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).
Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці[правіць | правіць зыходнік]
Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла

ў адзінкавай акружнасці з цэнтрам у пачатку каардынат
Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса R з цэнтрам у пачатку каардынат O. Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня OB. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта B абазначым
, ардынату —
.
- Сінусам называецца дзель

- Косінусам называецца дзель

- Тангенс вызначаецца як

- Катангенс вызначаецца як

- Секанс вызначаецца як

- Касеканс вызначаецца як

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці R дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце
, а косінус — абсцысе
. На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.
Калі
— рэчаісны лік, то сінусам
ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная
, гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.
Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення

з пачатковымі ўмовамі

Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:


Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як непарыўныя рашэнні (
і
адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:
Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:


Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі

можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:




дзе
— лікі Бернулі,
— лікі Эйлера.
Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў[правіць | правіць зыходнік]
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.
 |
0°(0 рад) |
30° (π/6) |
45° (π/4) |
60° (π/3) |
90° (π/2) |
180° (π) |
270° (3π/2) |
360° (2π)
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.
Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу α, то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:

Гэта роўнасць называецца асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю.
Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:


Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:

Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву
катангенс і касеканс —
Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:






Функцыі
— перыядычныя з перыядам
, функцыі
і
— з перыядам
.
Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:




Тут
— любая трыганаметрычная функцыя,
— адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса), n — цэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал α востры, напрыклад:

Некаторыя формулы прывядзення:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:




Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:


Формулы двайнога вугла:




Формулы трайнога вугла:




Іншыя формулы для кратных вуглоў:









Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.
З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:
![{\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61f5389af257e4d5471a991d3c99bdb058a384e)
![{\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f285d7cb530e87d8a9e33cff84fd4a4c9a8205)
![{\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193080e0a50ccbb840baae4beacdc5a2b4aa25a4)
![{\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b30c34309ebc38e5180d566833e7836c7be893e)
дзе
— цэлая частка ліку
,
— біномны каэфіцыент.
Формулы палавіннага вугла:






Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:






Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:




Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|






Для функцый ад аргумента
існуе прадстаўленне:

дзе вугал
вызначаецца з суадносін:

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.
Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:
Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:
Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай[правіць | правіць зыходнік]
Формула Эйлера:

дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:






дзе
Адпаведна, для рэчаіснага x,


Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:


Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:
- камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
- усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.
На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.
Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.
Сучасныя кароткія абазначэнні sin і cos уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.
Тэрміны «тангенс» (ад лац.: tangens — датычны) і «секанс» (лац.: secans — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).
Сам тэрмін трыганаметрычныя функцыі ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
- Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
- Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.