Трыганаметрычныя функцыі

Запыт «sin» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні.

Запыт «sec» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні.

Запыт «Сінус» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні.

Графікі трыганаметрычных функцый:

  сінуса

  косінуса

  тангенса

  катангенса

  секанса

  касеканса

Трыганаметры́чныя фу́нкцыі — элементарныя функцыі, якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі, а пасля і на ўсе камплексныя. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй.

Да трыганаметрычных функцый адносяцца:

прамыя трыганаметрычныя функцыі

• сінус ($\sin x$)
• косінус ($\cos x$)

вытворныя трыганаметрычныя функцыі

• тангенс ($\operatorname{tg} x$)
• катангенс ($\operatorname{ctg} x$)

іншыя трыганаметрычныя функцыі

• секанс ($\sec x$)
• касеканс ($\operatorname{cosec} x$)

У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца $\tan x, \cot x, \csc x$.

Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).

Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах $\pm \pi n + \frac{\pi}{2}$, а катангенс і касеканс — у пунктах $\pm \pi n$.

Спосабы вызначэння

Геаметрычнае азначэнне

Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка

Прамавугольны трохвугольнік

Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай OAB — трохвугольнік з вуглом α. Тады:

• Сінусам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{AB}{OB}$ (адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
• Косінусам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{OA}{OB}$ (адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
• Тангенсам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{AB}{OA}$ (адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
• Катангенсам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{OA}{AB}$ (адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
• Секансам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{OB}{OA}$ (адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
• Касекансам вугла $\alpha$ называецца дзель $\frac{OB}{AB}$ (адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце O, напрамкам восі абсцыс уздоўж OA і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).

Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці

Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла $\alpha$ ў адзінкавай акружнасці з цэнтрам у пачатку каардынат

Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса R з цэнтрам у пачатку каардынат O. Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня OB. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта B абазначым $x_B$, ардынату — $y_B$.

• Сінусам называецца дзель $\sin \alpha=\frac{y_B}{R}.$
• Косінусам называецца дзель $\cos \alpha=\frac{x_B}{R}.$
• Тангенс вызначаецца як $\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.$
• Катангенс вызначаецца як $\operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.$
• Секанс вызначаецца як $\sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.$
• Касеканс вызначаецца як $\operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}.$

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці R дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце $y_B$, а косінус — абсцысе $x_B$. На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.

Калі $\alpha$ — рэчаісны лік, то сінусам $\alpha$ ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная $\alpha$, гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення

$\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),$

з пачатковымі ўмовамі

$\cos(0) = \sin'(0) = 1.$

Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:

$\left(\cos x\right)'' = - \cos x,$

$\left(\sin x\right)'' = - \sin x.$

Як рашэнні функцыянальных ураўненняў

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як непарыўныя рашэнні ($f$ і $g$ адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:

$\left\{ \begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y),\\ g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y). \end{array} \right.$

Праз рады

Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$

Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі

$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x},$

можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:

$\operatorname{tg} x = x + \frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \dots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1}, \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),$

$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \dots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1}, \quad \left(-\pi < x < \pi\right),$

$\sec x = 1 + \frac{1}{2}\,x^2 + \frac{5}{24}\,x^4 + \frac{61}{720}\,x^6 + \frac{277}{8064}\,x^8 + \dots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),$

$\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \dots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1}, \quad \left(-\pi < x < \pi\right),$

дзе

$B_n$ — лікі Бернулі,

$E_n$ — лікі Эйлера.

Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў

Асноўны артыкул: Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

$\alpha \,\!$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
$\sin \alpha \,\!$	${0} \,\!$	$\frac{1}{2}\,\!$	$\frac{\sqrt{2}}{2}\,\!$	$\frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!$	${1}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$
$\cos \alpha \,\!$	${1} \,\!$	$\frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!$	$\frac{\sqrt{2}}{2}\,\!$	$\frac{1}{2}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$	${1}\,\!$
$\operatorname{tg} \alpha \,\!$	${0} \,\!$	$\frac{\sqrt{3}}{3}\,\!$	${1}\,\!$	$\sqrt{3}\,\!$	${\infty}\,\!$	${0}\,\!$	${\infty}\,\!$	${0}\,\!$
$\operatorname{ctg} \alpha \,\!$	${\infty}\,\!$	$\sqrt{3}\,\!$	${1} \,\!$	$\frac{\sqrt{3}}{3}\,\!$	${0}\,\!$	${\infty}\,\!$	${0}\,\!$	${\infty}\,\!$
$\sec \alpha \,\!$	${1} \,\!$	$\frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!$	$\sqrt{2}\,\!$	${2}\,\!$	${\infty}\,\!$	${-1}\,\!$	${\infty}\,\!$	${1}\,\!$
$\operatorname{cosec} \alpha \,\!$	${\infty}\,\!$	${2}\,\!$	$\sqrt{2}\,\!$	$\frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!$	${1}\,\!$	${\infty}\,\!$	${-1}\,\!$	${\infty}\,\!$

Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

Уласцівасці трыганаметрычных функцый

Найпрасцейшыя тоеснасці

Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя тоеснасці

Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу α, то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\,$

Гэта роўнасць называецца асноўнаю трыганаметрычнаю тоеснасцю.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:

$1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha},$

$1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}.$

Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:

$\operatorname{tg} \alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.$

Непарыўнасць

Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву $\pm90^\circ,\;\pm270^\circ,\;\pm450^\circ,\;\dots;$ катангенс і касеканс — $0^\circ,\;\pm180^\circ,\;\pm360^\circ,\;\dots.$

Цотнасць

Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:

$\sin (-\alpha) = - \sin \alpha ,$

$\cos (-\alpha) = \cos \alpha ,$

$\operatorname{tg} (-\alpha) = - \operatorname{tg} \alpha ,$

$\operatorname{ctg} (-\alpha) = - \operatorname{ctg} \alpha ,$

$\sec (-\alpha) = \sec \alpha ,$

$\operatorname{cosec} (-\alpha) = - \operatorname{cosec} \alpha .$

Перыядычнасць

Функцыі $y = \sin x,$ $y = \cos x,$ $y = \sec x,$ $y = \operatorname{cosec} x$ — перыядычныя з перыядам $2\pi$, функцыі $y = \operatorname{tg} x$ і $y = \operatorname{ctg} x$ — з перыядам $\pi$.

Формулы прывядзення

Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:

$f ( n \pi + \alpha ) = \pm f (\alpha),\,$

$f ( n \pi - \alpha ) = \pm f (\alpha),\,$

$f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right) = \pm g (\alpha),\,$

$f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right) = \pm g (\alpha).\,$

Тут $f$ — любая трыганаметрычная функцыя, $g$ — адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса), n — цэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал α востры, напрыклад:

$\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha ,$

Некаторыя формулы прывядзення:

$\beta\,$	$\frac{\pi}{2} + \alpha$	$\pi + \alpha\,$	$\frac{3\,\pi}{2} + \alpha$	$\frac{\pi}{2} - \alpha$	$\pi - \alpha\,$	$\frac{3\,\pi}{2} - \alpha$	$2\,\pi - \alpha$
$\sin\beta\,$	$\cos\alpha\,$	$-\sin\alpha\,$	$-\cos\alpha\,$	$\cos\alpha\,$	$\sin\alpha\,$	$-\cos\alpha\,$	$-\sin\alpha\,$
$\cos\beta\,$	$-\sin\alpha\,$	$-\cos\alpha\,$	$\sin\alpha\,$	$\sin\alpha\,$	$-\cos\alpha\,$	$-\sin\alpha\,$	$\cos\alpha\,$
$\operatorname{tg}\,\beta$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$
$\operatorname{ctg}\,\beta$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$

Формулы складання

Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:

$\sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,$

$\cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,$

$\operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},$

$\operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.$

Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:

$\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,$

$\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.$

Формулы для кратных вуглоў

Формулы двайнога вугла:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},$

$\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},$

$\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.$

Формулы трайнога вугла:

$\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,$

$\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,$

$\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},$

$\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.$

Іншыя формулы для кратных вуглоў:

$\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),$

$\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,$

$\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},$

$\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},$

$\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,$

$\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,$

$\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},$

$\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},$

$\sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right)$

Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.

З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:

$\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,$

$\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,$

$\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},$

$\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},$

дзе $[n]$ — цэлая частка ліку $n$, $\binom{n}{k}$ — біномны каэфіцыент.

Формулы палавіннага вугла:

$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,$

$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,$

$\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},$

$\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},$

$\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,$

$\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.$

Здабыткі

Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:

$\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},$

$\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},$

$\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},$

$\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},$

$\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},$

$\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.$

Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:

$\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},$

$\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},$

$\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},$

$\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.$

Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

Ступені

$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2},$	$\operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha},$
$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2},$	$\operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha},$
$\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},$	$\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},$
$\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},$	$\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},$
$\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},$	$\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},$
$\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},$	$\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.$

Сумы

$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

$\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$

$\operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}$

$1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 .$

Для функцый ад аргумента $x$ існуе прадстаўленне:

$A \sin \ x + B \cos \ x = \sqrt{A^2 + B^2}\sin( x + \phi ),$

дзе вугал $\phi$ вызначаецца з суадносін:

$\sin \phi = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \cos \phi = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

Аднапараметрычнае прадстаўленне

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

$\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

$\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

$\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

$\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}$

$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

$\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}$

Вытворныя і першаісныя

Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

$( \sin x )' = \cos x ,$

$( \cos x )' = -\sin x ,$

$( \operatorname{tg} x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},$

$( \operatorname{ctg} x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x},$

$( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x},$

$( \operatorname{cosec} x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.$

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C ,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C ,$

$\int\operatorname{tg} x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C ,$

$\int\operatorname{ctg} x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C ,$

$\int\sec x\, dx = \ln \left| \operatorname{tg} \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C,$

$\int\operatorname{cosec} x\, dx = \ln \left| \operatorname{tg} \frac{x}{2} \right|+ C.$

Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай

Азначэнне

Формула Эйлера:

$e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta$

дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:

$\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh} i z }{i};$

$\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z;$

$\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})};$

$\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}};$

$\sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}};$

$\operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},\,$

дзе $i^2=-1.$

Адпаведна, для рэчаіснага x,

$\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}),$

$\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}).$

Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:

$\sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch} y + i \cos x\, \operatorname{sh} y,$

$\cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch} y - i \sin x\, \operatorname{sh} y.$

Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:

• камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
• усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

Камплексныя графікі

На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.

Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці

$\sin z\,$	$\cos z\,$	$\operatorname{tg} z\,$	$\operatorname{ctg} z\,$	$\sec z\,$	$\operatorname{cosec} z\,$

Гісторыя назваў

Асноўны артыкул: Гісторыя трыганаметрыі

Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні sin і cos уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.

Тэрміны «тангенс» (ад лац.: tangens — датычны) і «секанс» (лац.: secans — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін трыганаметрычныя функцыі ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.

Гл. таксама

• Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
• Гіпербалічныя функцыі
• Эліптычныя функцыі
• Інтэгральны сінус
• Інтэгральны косінус
• Рашэнне трохвугольнікаў
• Сінус-верзус
• Сферычная трыганаметрыя
• Функцыя Гудэрмана
• Чатырохзначныя матэматычныя табліцы (Табліцы Брадзіса)

Літаратура

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
• Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
• Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W. Трыганаметрычныя функцыі(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
• Анлайн калькулятар: вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый
• Інтэрактыўная карта значэнняў трыганаметрычных функцый