Графікі трыганаметрычных функцый: сінуса косінуса тангенса катангенса секанса касеканса Трыганаметры́чныя фу́нкцыі — элементарныя функцыі , якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе ). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі , а пасля і на ўсе камплексныя . Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй .
Да трыганаметрычных функцый адносяцца:
прамыя трыганаметрычныя функцыі сінус (
sin
x
{\displaystyle \sin x}
косінус (
cos
x
{\displaystyle \cos x}
вытворныя трыганаметрычныя функцыі тангенс (
tg
x
{\displaystyle \operatorname {tg} x}
катангенс (
ctg
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} x}
іншыя трыганаметрычныя функцыі секанс (
sec
x
{\displaystyle \sec x}
касеканс (
cosec
x
{\displaystyle \operatorname {cosec} x}
У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца
tan
x
,
cot
x
,
csc
x
{\displaystyle \tan x,\cot x,\csc x}
Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).
Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах
±
π
n
+
π
2
{\displaystyle \pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}}
±
π
n
{\displaystyle \pm \pi n}
Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка [ правіць | правіць зыходнік ] Прамавугольны трохвугольнік Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай OAB α . Тады:
Сінусам вугла
α
{\displaystyle \alpha }
A
B
O
B
{\displaystyle {\frac {AB}{OB}}}
Косінусам вугла
α
{\displaystyle \alpha }
O
A
O
B
{\displaystyle {\frac {OA}{OB}}}
Тангенсам вугла
α
{\displaystyle \alpha }
A
B
O
A
{\displaystyle {\frac {AB}{OA}}}
Катангенсам вугла
α
{\displaystyle \alpha }
O
A
A
B
{\displaystyle {\frac {OA}{AB}}}
Секансам вугла
α
{\displaystyle \alpha }
O
B
O
A
{\displaystyle {\frac {OB}{OA}}}
Касекансам вугла
α
{\displaystyle \alpha }
O
B
A
B
{\displaystyle {\frac {OB}{AB}}}
Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце O OA
Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат . Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў , Тэарэма косінусаў ).
Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці [ правіць | правіць зыходнік ] Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла
α
{\displaystyle \alpha }
Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса R O OB B
x
B
{\displaystyle x_{B}}
y
B
{\displaystyle y_{B}}
Сінусам называецца дзель
sin
α
=
y
B
R
.
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.}
Косінусам называецца дзель
cos
α
=
x
B
R
.
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.}
Тангенс вызначаецца як
tg
α
=
sin
α
cos
α
=
y
B
x
B
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.}
Катангенс вызначаецца як
ctg
α
=
cos
α
sin
α
=
x
B
y
B
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.}
Секанс вызначаецца як
sec
α
=
1
cos
α
=
R
x
B
.
{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.}
Касеканс вызначаецца як
cosec
α
=
1
sin
α
=
R
y
B
.
{\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.}
Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці R радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце
y
B
{\displaystyle y_{B}}
x
B
{\displaystyle x_{B}}
адзінкавай акружнасці .
Калі
α
{\displaystyle \alpha }
рэчаісны лік , то сінусам
α
{\displaystyle \alpha }
матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная
α
{\displaystyle \alpha }
Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення
d
2
d
φ
2
R
(
φ
)
=
−
R
(
φ
)
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}
з пачатковымі ўмовамі
cos
(
0
)
=
sin
′
(
0
)
=
1.
{\displaystyle \cos(0)=\sin '(0)=1.}
Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:
(
cos
x
)
″
=
−
cos
x
,
{\displaystyle \left(\cos x\right)''=-\cos x,}
(
sin
x
)
″
=
−
sin
x
.
{\displaystyle \left(\sin x\right)''=-\sin x.}
Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як непарыўныя рашэнні (
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
функцыянальных ураўненняў :
{
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
−
g
(
x
)
g
(
y
)
,
g
(
x
+
y
)
=
g
(
x
)
f
(
y
)
+
f
(
x
)
g
(
y
)
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y),\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y).\end{array}}\right.}
Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц , можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў :
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
x
9
9
!
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
,
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
x
8
8
!
−
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
.
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}
Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі
tg
x
=
sin
x
cos
x
,
ctg
x
=
cos
x
sin
x
,
sec
x
=
1
cos
x
,
cosec
x
=
1
sin
x
,
{\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin x}{\cos x}},\quad \operatorname {ctg} x={\frac {\cos x}{\sin x}},\quad \sec x={\frac {1}{\cos x}},\quad \operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}},}
можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:
tg
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
62
2835
x
9
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
|
B
2
n
|
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
,
(
−
π
2
<
x
<
π
2
)
,
{\displaystyle \operatorname {tg} x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}
ctg
x
=
1
x
−
x
3
−
x
3
45
−
2
x
5
945
−
x
7
4725
−
⋯
=
1
x
−
∑
n
=
1
∞
2
2
n
|
B
2
n
|
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
,
(
−
π
<
x
<
π
)
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\dots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1},\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}
sec
x
=
1
+
1
2
x
2
+
5
24
x
4
+
61
720
x
6
+
277
8064
x
8
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
|
E
n
|
(
2
n
)
!
x
2
n
,
(
−
π
2
<
x
<
π
2
)
,
{\displaystyle \sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}
cosec
x
=
1
x
+
1
6
x
+
7
360
x
3
+
31
15120
x
5
+
127
604800
x
7
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
(
2
2
n
−
1
−
1
)
|
B
2
n
|
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
,
(
−
π
<
x
<
π
)
,
{\displaystyle \operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\dots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1},\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}
дзе
B
n
{\displaystyle B_{n}}
лікі Бернулі ,
E
n
{\displaystyle E_{n}}
лікі Эйлера .Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў [ правіць | правіць зыходнік ] Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
0°(0 рад)
30° (π /6)
45° (π /4)
60° (π /3)
90° (π /2)
180° (π )
270° (3π /2)
360° (2π )
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
3
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
3
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
sec
α
{\displaystyle \sec \alpha \,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}
2
{\displaystyle {2}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
cosec
α
{\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha \,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
2
{\displaystyle {2}\,\!}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}
2
3
3
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
∞
{\displaystyle {\infty }\,\!}
Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.
Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу α , то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора , маем:
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1.
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.\,}
Гэта роўнасць называецца асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю
Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:
1
+
tg
2
α
=
1
cos
2
α
,
{\displaystyle 1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }},}
1
+
ctg
2
α
=
1
sin
2
α
.
{\displaystyle 1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}.}
Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:
tg
α
⋅
c
t
g
α
=
1.
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha =1.}
Сінус і косінус — непарыўныя функцыі . Тангенс і секанс маюць пункты разрыву
±
90
∘
,
±
270
∘
,
±
450
∘
,
…
;
{\displaystyle \pm 90^{\circ },\;\pm 270^{\circ },\;\pm 450^{\circ },\;\dots ;}
0
∘
,
±
180
∘
,
±
360
∘
,
…
.
{\displaystyle 0^{\circ },\;\pm 180^{\circ },\;\pm 360^{\circ },\;\dots .}
Косінус і секанс — цотныя . Астатнія чатыры функцыі — няцотныя , гэта значыць:
sin
(
−
α
)
=
−
sin
α
,
{\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha ,}
cos
(
−
α
)
=
cos
α
,
{\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha ,}
tg
(
−
α
)
=
−
tg
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} (-\alpha )=-\operatorname {tg} \alpha ,}
ctg
(
−
α
)
=
−
ctg
α
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} (-\alpha )=-\operatorname {ctg} \alpha ,}
sec
(
−
α
)
=
sec
α
,
{\displaystyle \sec(-\alpha )=\sec \alpha ,}
cosec
(
−
α
)
=
−
cosec
α
.
{\displaystyle \operatorname {cosec} (-\alpha )=-\operatorname {cosec} \alpha .}
Функцыі
y
=
sin
x
,
{\displaystyle y=\sin x,}
y
=
cos
x
,
{\displaystyle y=\cos x,}
y
=
sec
x
,
{\displaystyle y=\sec x,}
y
=
cosec
x
{\displaystyle y=\operatorname {cosec} x}
перыядычныя з перыядам
2
π
{\displaystyle 2\pi }
y
=
tg
x
{\displaystyle y=\operatorname {tg} x}
y
=
ctg
x
{\displaystyle y=\operatorname {ctg} x}
π
{\displaystyle \pi }
Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:
f
(
n
π
+
α
)
=
±
f
(
α
)
,
{\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),\,}
f
(
n
π
−
α
)
=
±
f
(
α
)
,
{\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),\,}
f
(
(
2
n
+
1
)
π
2
+
α
)
=
±
g
(
α
)
,
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),\,}
f
(
(
2
n
+
1
)
π
2
−
α
)
=
±
g
(
α
)
.
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).\,}
Тут
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
n цэлы лік . Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал α востры, напрыклад:
cos
(
π
2
−
α
)
=
sin
α
,
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha ,}
Некаторыя формулы прывядзення:
β
{\displaystyle \beta \,}
π
2
+
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }
π
+
α
{\displaystyle \pi +\alpha \,}
3
π
2
+
α
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha }
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }
π
−
α
{\displaystyle \pi -\alpha \,}
3
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha }
2
π
−
α
{\displaystyle 2\,\pi -\alpha }
sin
β
{\displaystyle \sin \beta \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
cos
β
{\displaystyle \cos \beta \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
tg
β
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
β
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:
sin
(
α
±
β
)
=
sin
α
cos
β
±
cos
α
sin
β
,
{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \,\cos \beta \pm \cos \alpha \,\sin \beta ,}
cos
(
α
±
β
)
=
cos
α
cos
β
∓
sin
α
sin
β
,
{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \,\cos \beta \mp \sin \alpha \,\sin \beta ,}
tg
(
α
±
β
)
=
tg
α
±
tg
β
1
∓
tg
α
tg
β
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \,\alpha \pm \operatorname {tg} \,\beta }{1\mp \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta }},}
ctg
(
α
±
β
)
=
ctg
α
ctg
β
∓
1
ctg
β
±
ctg
α
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \,\beta \pm \operatorname {ctg} \,\alpha }}.}
Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:
sin
(
α
+
β
+
γ
)
=
sin
α
cos
β
cos
γ
+
cos
α
sin
β
cos
γ
+
cos
α
cos
β
sin
γ
−
sin
α
sin
β
sin
γ
,
{\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,}
cos
(
α
+
β
+
γ
)
=
cos
α
cos
β
cos
γ
−
sin
α
sin
β
cos
γ
−
sin
α
cos
β
sin
γ
−
cos
α
sin
β
sin
γ
.
{\displaystyle \cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .}
Формулы двайнога вугла:
sin
2
α
=
2
sin
α
cos
α
=
2
tg
α
1
+
tg
2
α
=
2
ctg
α
1
+
ctg
2
α
=
2
tg
α
+
ctg
α
,
{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},}
cos
2
α
=
cos
2
α
−
sin
2
α
=
2
cos
2
α
−
1
=
1
−
2
sin
2
α
=
1
−
tg
2
α
1
+
tg
2
α
=
ctg
2
α
−
1
ctg
2
α
+
1
=
ctg
α
−
tg
α
ctg
α
+
tg
α
,
{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},}
tg
2
α
=
2
tg
α
1
−
tg
2
α
=
2
ctg
α
ctg
2
α
−
1
=
2
ctg
α
−
tg
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},}
ctg
2
α
=
ctg
2
α
−
1
2
ctg
α
=
ctg
α
−
tg
α
2
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.}
Формулы трайнога вугла:
sin
3
α
=
3
sin
α
−
4
sin
3
α
,
{\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,}
cos
3
α
=
4
cos
3
α
−
3
cos
α
,
{\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,}
tg
3
α
=
3
tg
α
−
tg
3
α
1
−
3
tg
2
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},}
ctg
3
α
=
ctg
3
α
−
3
ctg
α
3
ctg
2
α
−
1
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.}
Іншыя формулы для кратных вуглоў:
sin
4
α
=
cos
α
(
4
sin
α
−
8
sin
3
α
)
,
{\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),}
cos
4
α
=
8
cos
4
α
−
8
cos
2
α
+
1
,
{\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,}
tg
4
α
=
4
tg
α
−
4
tg
3
α
1
−
6
tg
2
α
+
tg
4
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},}
ctg
4
α
=
ctg
4
α
−
6
ctg
2
α
+
1
4
ctg
3
α
−
4
ctg
α
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},}
sin
5
α
=
16
sin
5
α
−
20
sin
3
α
+
5
sin
α
,
{\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,}
cos
5
α
=
16
cos
5
α
−
20
cos
3
α
+
5
cos
α
,
{\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,}
tg
5
α
=
tg
α
tg
4
α
−
10
tg
2
α
+
5
5
tg
4
α
−
10
tg
2
α
+
1
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},}
ctg
5
α
=
ctg
α
ctg
4
α
−
10
ctg
2
α
+
5
5
ctg
4
α
−
10
ctg
2
α
+
1
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},}
sin
(
n
α
)
=
2
n
−
1
∏
k
=
0
n
−
1
sin
(
α
+
π
k
n
)
{\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)}
Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі .
З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:
sin
(
n
α
)
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
+
1
)
cos
n
−
2
k
−
1
α
sin
2
k
+
1
α
,
{\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,}
cos
(
n
α
)
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
cos
n
−
2
k
α
sin
2
k
α
,
{\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,}
t
g
(
n
α
)
=
sin
(
n
α
)
cos
(
n
α
)
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
+
1
)
t
g
2
k
+
1
α
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
t
g
2
k
α
,
{\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},}
c
t
g
(
n
α
)
=
cos
(
n
α
)
sin
(
n
α
)
=
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
c
t
g
n
−
2
k
α
∑
k
=
0
[
n
/
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
+
1
)
c
t
g
n
−
2
k
−
1
α
,
{\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},}
дзе
[
n
]
{\displaystyle [n]}
цэлая частка ліку
n
{\displaystyle n}
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}}
біномны каэфіцыент .
Формулы палавіннага вугла:
sin
α
2
=
1
−
cos
α
2
,
0
⩽
α
⩽
2
π
,
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,}
cos
α
2
=
1
+
cos
α
2
,
−
π
⩽
α
⩽
π
,
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,}
tg
α
2
=
1
−
cos
α
sin
α
=
sin
α
1
+
cos
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},}
ctg
α
2
=
sin
α
1
−
cos
α
=
1
+
cos
α
sin
α
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},}
tg
α
2
=
1
−
cos
α
1
+
cos
α
,
0
⩽
α
<
π
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,}
ctg
α
2
=
1
+
cos
α
1
−
cos
α
,
0
<
α
⩽
π
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .}
Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:
sin
α
sin
β
=
cos
(
α
−
β
)
−
cos
(
α
+
β
)
2
,
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},}
sin
α
cos
β
=
sin
(
α
−
β
)
+
sin
(
α
+
β
)
2
,
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},}
cos
α
cos
β
=
cos
(
α
−
β
)
+
cos
(
α
+
β
)
2
,
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},}
tg
α
tg
β
=
cos
(
α
−
β
)
−
cos
(
α
+
β
)
cos
(
α
−
β
)
+
cos
(
α
+
β
)
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},}
tg
α
ctg
β
=
sin
(
α
−
β
)
+
sin
(
α
+
β
)
sin
(
α
+
β
)
−
sin
(
α
−
β
)
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},}
ctg
α
ctg
β
=
cos
(
α
−
β
)
+
cos
(
α
+
β
)
cos
(
α
−
β
)
−
cos
(
α
+
β
)
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.}
Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:
sin
α
sin
β
sin
γ
=
sin
(
α
+
β
−
γ
)
+
sin
(
β
+
γ
−
α
)
+
sin
(
α
−
β
+
γ
)
−
sin
(
α
+
β
+
γ
)
4
,
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
sin
α
sin
β
cos
γ
=
−
cos
(
α
+
β
−
γ
)
+
cos
(
β
+
γ
−
α
)
+
cos
(
α
−
β
+
γ
)
−
cos
(
α
+
β
+
γ
)
4
,
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
sin
α
cos
β
cos
γ
=
sin
(
α
+
β
−
γ
)
−
sin
(
β
+
γ
−
α
)
+
sin
(
α
−
β
+
γ
)
−
sin
(
α
+
β
+
γ
)
4
,
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
cos
α
cos
β
cos
γ
=
cos
(
α
+
β
−
γ
)
+
cos
(
β
+
γ
−
α
)
+
cos
(
α
−
β
+
γ
)
+
cos
(
α
+
β
+
γ
)
4
.
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.}
Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.
sin
2
α
=
1
−
cos
2
α
2
,
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2}},}
tg
2
α
=
1
−
cos
2
α
1
+
cos
2
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }},}
cos
2
α
=
1
+
cos
2
α
2
,
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}},}
ctg
2
α
=
1
+
cos
2
α
1
−
cos
2
α
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }},}
sin
3
α
=
3
sin
α
−
sin
3
α
4
,
{\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{4}},}
tg
3
α
=
3
sin
α
−
sin
3
α
3
cos
α
+
cos
3
α
,
{\displaystyle \operatorname {tg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }},}
cos
3
α
=
3
cos
α
+
cos
3
α
4
,
{\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{4}},}
ctg
3
α
=
3
cos
α
+
cos
3
α
3
sin
α
−
sin
3
α
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }},}
sin
4
α
=
cos
4
α
−
4
cos
2
α
+
3
8
,
{\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{8}},}
tg
4
α
=
cos
4
α
−
4
cos
2
α
+
3
cos
4
α
+
4
cos
2
α
+
3
,
{\displaystyle \operatorname {tg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}},}
cos
4
α
=
cos
4
α
+
4
cos
2
α
+
3
8
,
{\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{8}},}
ctg
4
α
=
cos
4
α
+
4
cos
2
α
+
3
cos
4
α
−
4
cos
2
α
+
3
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}}.}
sin
α
±
sin
β
=
2
sin
α
±
β
2
cos
α
∓
β
2
{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}
cos
α
+
cos
β
=
2
cos
α
+
β
2
cos
α
−
β
2
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
cos
α
−
cos
β
=
−
2
sin
α
+
β
2
sin
α
−
β
2
{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
tg
α
±
tg
β
=
sin
(
α
±
β
)
cos
α
cos
β
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}
ctg
α
±
ctg
β
=
sin
(
β
±
α
)
sin
α
sin
β
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}
1
±
sin
2
α
=
(
sin
α
±
cos
α
)
2
.
{\displaystyle 1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2}.}
Для функцый ад аргумента
x
{\displaystyle x}
A
sin
x
+
B
cos
x
=
A
2
+
B
2
sin
(
x
+
ϕ
)
,
{\displaystyle A\sin \ x+B\cos \ x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(x+\phi ),}
дзе вугал
ϕ
{\displaystyle \phi }
sin
ϕ
=
B
A
2
+
B
2
,
cos
ϕ
=
A
A
2
+
B
2
.
{\displaystyle \sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.
sin
x
=
sin
x
1
=
2
sin
x
2
cos
x
2
sin
2
x
2
+
cos
2
x
2
=
2
tg
x
2
1
+
tg
2
x
2
{\displaystyle \sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
cos
x
=
cos
x
1
=
cos
2
x
2
−
sin
2
x
2
cos
2
x
2
+
sin
2
x
2
=
1
−
tg
2
x
2
1
+
tg
2
x
2
{\displaystyle \cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
tg
x
=
sin
x
cos
x
=
2
tg
x
2
1
−
tg
2
x
2
{\displaystyle \operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
ctg
x
=
cos
x
sin
x
=
1
−
tg
2
x
2
2
tg
x
2
{\displaystyle \operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}
sec
x
=
1
cos
x
=
1
+
tg
2
x
2
1
−
tg
2
x
2
{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
cosec
x
=
1
sin
x
=
1
+
tg
2
x
2
2
tg
x
2
{\displaystyle \operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}
Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:
(
sin
x
)
′
=
cos
x
,
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x,}
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
,
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,}
(
tg
x
)
′
=
1
cos
2
x
,
{\displaystyle (\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},}
(
ctg
x
)
′
=
−
1
sin
2
x
,
{\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}},}
(
sec
x
)
′
=
sin
x
cos
2
x
,
{\displaystyle (\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}},}
(
cosec
x
)
′
=
−
cos
x
sin
2
x
.
{\displaystyle (\operatorname {cosec} x)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.}
Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
,
{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C,}
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
,
{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C,}
∫
tg
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
,
{\displaystyle \int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C,}
∫
ctg
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
,
{\displaystyle \int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C,}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
tg
(
π
4
+
x
2
)
|
+
C
,
{\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C,}
∫
cosec
x
d
x
=
ln
|
tg
x
2
|
+
C
.
{\displaystyle \int \operatorname {cosec} x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\right|+C.}
Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай [ правіць | правіць зыходнік ] Формула Эйлера :
e
i
ϑ
=
cos
ϑ
+
i
sin
ϑ
{\displaystyle e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta }
дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў ) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:
sin
z
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
z
2
n
+
1
=
e
i
z
−
e
−
i
z
2
i
=
sh
i
z
i
;
{\displaystyle \sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\,={\frac {\operatorname {sh} iz}{i}};}
cos
z
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
z
2
n
=
e
i
z
+
e
−
i
z
2
=
ch
i
z
;
{\displaystyle \cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,=\operatorname {ch} iz;}
tg
z
=
sin
z
cos
z
=
e
i
z
−
e
−
i
z
i
(
e
i
z
+
e
−
i
z
)
;
{\displaystyle \operatorname {tg} \,z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}};}
ctg
z
=
cos
z
sin
z
=
i
(
e
i
z
+
e
−
i
z
)
e
i
z
−
e
−
i
z
;
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}};}
sec
z
=
1
cos
z
=
2
e
i
z
+
e
−
i
z
;
{\displaystyle \sec z={\frac {1}{\cos z}}={\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}};}
cosec
z
=
1
sin
z
=
2
i
e
i
z
−
e
−
i
z
,
{\displaystyle \operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},\,}
дзе
i
2
=
−
1.
{\displaystyle i^{2}=-1.}
Адпаведна, для рэчаіснага x
cos
x
=
Re
(
e
i
x
)
,
{\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),}
sin
x
=
Im
(
e
i
x
)
.
{\displaystyle \sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).}
Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі :
sin
(
x
+
i
y
)
=
sin
x
ch
y
+
i
cos
x
sh
y
,
{\displaystyle \sin(x+iy)=\sin x\,\operatorname {ch} y+i\cos x\,\operatorname {sh} y,}
cos
(
x
+
i
y
)
=
cos
x
ch
y
−
i
sin
x
sh
y
.
{\displaystyle \cos(x+iy)=\cos x\,\operatorname {ch} y-i\sin x\,\operatorname {sh} y.}
Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:
камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі. На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю .
Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці
sin
z
{\displaystyle \sin z\,}
cos
z
{\displaystyle \cos z\,}
tg
z
{\displaystyle \operatorname {tg} z\,}
ctg
z
{\displaystyle \operatorname {ctg} z\,}
sec
z
{\displaystyle \sec z\,}
cosec
z
{\displaystyle \operatorname {cosec} z\,}
Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды ), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.
Сучасныя кароткія абазначэнні sin і cos уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера .
Тэрміны «тангенс» (ад лац. : tangens — датычны) і «секанс» (лац. : secans — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).
Сам тэрмін трыганаметрычныя функцыі ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М .: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М .: Наука, 1973. — С. 70—102.Maor, Eli, Trigonometric Delights , Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8 . 
![{\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61f5389af257e4d5471a991d3c99bdb058a384e)
![{\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f285d7cb530e87d8a9e33cff84fd4a4c9a8205)
![{\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193080e0a50ccbb840baae4beacdc5a2b4aa25a4)
![{\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b30c34309ebc38e5180d566833e7836c7be893e)
![{\displaystyle [n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26847bfc29bbeb4d6ef62ac3fd076378c0fd1db)
