Трыганаметрычныя функцыі

Запыт «sin» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні.

Запыт «sec» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні.

Запыт «Сінус» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні.

Графікі трыганаметрычных функцый:      сінуса      косінуса      тангенса      катангенса      секанса      касеканса

Трыганаметры́чныя фу́нкцыі — элементарныя функцыі, якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі, а пасля і на ўсе камплексныя. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй.

Да трыганаметрычных функцый адносяцца:

прамыя трыганаметрычныя функцыі

• сінус ($\sin x$)
• косінус ($\cos x$)

вытворныя трыганаметрычныя функцыі

• тангенс ($\operatorname {tg} x$)
• катангенс ($\operatorname {ctg} x$)

іншыя трыганаметрычныя функцыі

• секанс ($\sec x$)
• касеканс ($\operatorname {cosec} x$)

У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца $\tan x,\cot x,\csc x$.

Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).

Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах $\pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}$, а катангенс і касеканс — у пунктах $\pm \pi n$.

Спосабы вызначэння

Геаметрычнае азначэнне

Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка

Прамавугольны трохвугольнік

Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай OAB — трохвугольнік з вуглом α. Тады:

• Сінусам вугла $\alpha$ называецца дзель ${\frac {AB}{OB}}$ (адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
• Косінусам вугла $\alpha$ называецца дзель ${\frac {OA}{OB}}$ (адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
• Тангенсам вугла $\alpha$ называецца дзель ${\frac {AB}{OA}}$ (адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
• Катангенсам вугла $\alpha$ называецца дзель ${\frac {OA}{AB}}$ (адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
• Секансам вугла $\alpha$ называецца дзель ${\frac {OB}{OA}}$ (адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
• Касекансам вугла $\alpha$ называецца дзель ${\frac {OB}{AB}}$ (адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце O, напрамкам восі абсцыс уздоўж OA і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).

Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці

Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла $\alpha$ ў адзінкавай акружнасці з цэнтрам у пачатку каардынат

Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса R з цэнтрам у пачатку каардынат O. Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня OB. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта B абазначым $x_{B}$, ардынату — $y_{B}$.

• Сінусам называецца дзель $\sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.$
• Косінусам называецца дзель $\cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.$
• Тангенс вызначаецца як $\operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.$
• Катангенс вызначаецца як $\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.$
• Секанс вызначаецца як $\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.$
• Касеканс вызначаецца як $\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.$

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці R дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце $y_{B}$, а косінус — абсцысе $x_{B}$. На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.

Калі $\alpha$ — рэчаісны лік, то сінусам $\alpha$ ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная $\alpha$, гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення

${\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),$

з пачатковымі ўмовамі

$\cos(0)=\sin '(0)=1.$

Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:

$\left(\cos x\right)''=-\cos x,$

$\left(\sin x\right)''=-\sin x.$

Як рашэнні функцыянальных ураўненняў

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як непарыўныя рашэнні ($f$ і $g$ адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:

$\left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y),\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y).\end{array}}\right.$

Праз рады

Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$

Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі

$\operatorname {tg} x={\frac {\sin x}{\cos x}},\quad \operatorname {ctg} x={\frac {\cos x}{\sin x}},\quad \sec x={\frac {1}{\cos x}},\quad \operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}},$

можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:

$\operatorname {tg} x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),$

$\operatorname {ctg} x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\dots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1},\quad \left(-\pi <x<\pi \right),$

$\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),$

$\operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\dots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1},\quad \left(-\pi <x<\pi \right),$

дзе

$B_{n}$ — лікі Бернулі,

$E_{n}$ — лікі Эйлера.

Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў

Асноўны артыкул: Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

$\alpha \,\!$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
$\sin \alpha \,\!$	${0}\,\!$	${\frac {1}{2}}\,\!$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!$	${1}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$
$\cos \alpha \,\!$	${1}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!$	${\frac {1}{2}}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$	${1}\,\!$
$\operatorname {tg} \alpha \,\!$	${0}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!$	${1}\,\!$	${\sqrt {3}}\,\!$	${\infty }\,\!$	${0}\,\!$	${\infty }\,\!$	${0}\,\!$
$\operatorname {ctg} \alpha \,\!$	${\infty }\,\!$	${\sqrt {3}}\,\!$	${1}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!$	${0}\,\!$	${\infty }\,\!$	${0}\,\!$	${\infty }\,\!$
$\sec \alpha \,\!$	${1}\,\!$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!$	${\sqrt {2}}\,\!$	${2}\,\!$	${\infty }\,\!$	${-1}\,\!$	${\infty }\,\!$	${1}\,\!$
$\operatorname {cosec} \alpha \,\!$	${\infty }\,\!$	${2}\,\!$	${\sqrt {2}}\,\!$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!$	${1}\,\!$	${\infty }\,\!$	${-1}\,\!$	${\infty }\,\!$

Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

Уласцівасці трыганаметрычных функцый

Найпрасцейшыя тоеснасці

Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя тоеснасці

Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу α, то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.\,$

Гэта роўнасць называецца асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:

$1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }},$

$1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}.$

Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:

$\operatorname {tg} \alpha \cdot \mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha =1.$

Непарыўнасць

Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву $\pm 90^{\circ },\;\pm 270^{\circ },\;\pm 450^{\circ },\;\dots ;$ катангенс і касеканс — $0^{\circ },\;\pm 180^{\circ },\;\pm 360^{\circ },\;\dots .$

Цотнасць

Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:

$\sin(-\alpha )=-\sin \alpha ,$

$\cos(-\alpha )=\cos \alpha ,$

$\operatorname {tg} (-\alpha )=-\operatorname {tg} \alpha ,$

$\operatorname {ctg} (-\alpha )=-\operatorname {ctg} \alpha ,$

$\sec(-\alpha )=\sec \alpha ,$

$\operatorname {cosec} (-\alpha )=-\operatorname {cosec} \alpha .$

Перыядычнасць

Функцыі $y=\sin x,$ $y=\cos x,$ $y=\sec x,$ $y=\operatorname {cosec} x$ — перыядычныя з перыядам $2\pi$, функцыі $y=\operatorname {tg} x$ і $y=\operatorname {ctg} x$ — з перыядам $\pi$.

Формулы прывядзення

Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:

$f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),\,$

$f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),\,$

$f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),\,$

$f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).\,$

Тут $f$ — любая трыганаметрычная функцыя, $g$ — адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса), n — цэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал α востры, напрыклад:

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha ,$

Некаторыя формулы прывядзення:

$\beta \,$	${\frac {\pi }{2}}+\alpha$	$\pi +\alpha \,$	${\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha$	${\frac {\pi }{2}}-\alpha$	$\pi -\alpha \,$	${\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha$	$2\,\pi -\alpha$
$\sin \beta \,$	$\cos \alpha \,$	$-\sin \alpha \,$	$-\cos \alpha \,$	$\cos \alpha \,$	$\sin \alpha \,$	$-\cos \alpha \,$	$-\sin \alpha \,$
$\cos \beta \,$	$-\sin \alpha \,$	$-\cos \alpha \,$	$\sin \alpha \,$	$\sin \alpha \,$	$-\cos \alpha \,$	$-\sin \alpha \,$	$\cos \alpha \,$
$\operatorname {tg} \,\beta$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$
$\operatorname {ctg} \,\beta$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$

Формулы складання

Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:

$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \,\cos \beta \pm \cos \alpha \,\sin \beta ,$

$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \,\cos \beta \mp \sin \alpha \,\sin \beta ,$

$\operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \,\alpha \pm \operatorname {tg} \,\beta }{1\mp \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta }},$

$\operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \,\beta \pm \operatorname {ctg} \,\alpha }}.$

Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:

$\sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,$

$\cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .$

Формулы для кратных вуглоў

Формулы двайнога вугла:

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},$

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},$

$\operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},$

$\operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.$

Формулы трайнога вугла:

$\sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,$

$\cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,$

$\operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},$

$\operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.$

Іншыя формулы для кратных вуглоў:

$\sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),$

$\cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,$

$\operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},$

$\operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},$

$\sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,$

$\cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,$

$\operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},$

$\operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},$

$\sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)$

Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.

З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:

$\sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,$

$\cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,$

$\mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},$

$\mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},$

дзе $[n]$ — цэлая частка ліку $n$, ${\binom {n}{k}}$ — біномны каэфіцыент.

Формулы палавіннага вугла:

$\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,$

$\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,$

$\operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},$

$\operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},$

$\operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,$

$\operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .$

Здабыткі

Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:

$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},$

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},$

$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},$

$\operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},$

$\operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},$

$\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.$

Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:

$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$

$\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$

$\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$

$\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.$

Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

Ступені

$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2}},$	$\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }},$
$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}},$	$\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }},$
$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{4}},$	$\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }},$
$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{4}},$	$\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }},$
$\sin ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{8}},$	$\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}},$
$\cos ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{8}},$	$\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}}.$

Сумы

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$

$\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$

$1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2}.$

Для функцый ад аргумента $x$ існуе прадстаўленне:

$A\sin \ x+B\cos \ x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(x+\phi ),$

дзе вугал $\phi$ вызначаецца з суадносін:

$\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Аднапараметрычнае прадстаўленне

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

$\operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

$\operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}$

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}$

Вытворныя і першаісныя

Гл. таксама: Спіс інтэгралаў ад трыганаметрычных функцый

Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

$(\sin x)'=\cos x,$

$(\cos x)'=-\sin x,$

$(\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},$

$(\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}},$

$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}},$

$(\operatorname {cosec} x)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.$

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C,$

$\int \cos x\,dx=\sin x+C,$

$\int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C,$

$\int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C,$

$\int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C,$

$\int \operatorname {cosec} x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\right|+C.$

Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай

Азначэнне

Формула Эйлера:

$e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta$

дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:

$\sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\,={\frac {\operatorname {sh} iz}{i}};$

$\cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,=\operatorname {ch} iz;$

$\operatorname {tg} \,z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}};$

$\operatorname {ctg} \,z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}};$

$\sec z={\frac {1}{\cos z}}={\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}};$

$\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},\,$

дзе $i^{2}=-1.$

Адпаведна, для рэчаіснага x,

$\cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),$

$\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).$

Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:

$\sin(x+iy)=\sin x\,\operatorname {ch} y+i\cos x\,\operatorname {sh} y,$

$\cos(x+iy)=\cos x\,\operatorname {ch} y-i\sin x\,\operatorname {sh} y.$

Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:

• камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
• усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

Камплексныя графікі

На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.

Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці

$\sin z\,$	$\cos z\,$	$\operatorname {tg} z\,$	$\operatorname {ctg} z\,$	$\sec z\,$	$\operatorname {cosec} z\,$

Гісторыя назваў

Асноўны артыкул: Гісторыя трыганаметрыі

Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні sin і cos уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.

Тэрміны «тангенс» (ад лац.: tangens — датычны) і «секанс» (лац.: secans — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін трыганаметрычныя функцыі ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.

Гл. таксама

• Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
• Гіпербалічныя функцыі
• Эліптычныя функцыі
• Інтэгральны сінус
• Інтэгральны косінус
• Рашэнне трохвугольнікаў
• Сінус-верзус
• Сферычная трыганаметрыя
• Функцыя Гудэрмана
• Чатырохзначныя матэматычныя табліцы (Табліцы Брадзіса)

Літаратура

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
• Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
• Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W. Трыганаметрычныя функцыі (англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
• Анлайн калькулятар: вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый
• Інтэрактыўная карта значэнняў трыганаметрычных функцый