Тэарэма Астраградскага-Гауса

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэ́ма Астрагра́дскага-Га́уса вызначае паток вектара напружанасці электрычнага поля праз замкнёную паверхню. Гэта адзін з найважнейшых законаў электрастатыкі.

Фармулёўка тэарэмы:

Паток вектара напружанасці электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе плошчы і формы, а вызначаецца сумаю электрычных зарадаў, што знаходзяцца ўнутры яе.

Доказ: Паток вектара напружанасці пунктавага зарада праз элемент паверхні dS складае

, дзе праекцыя dS на плоскасць, перпендыкулярную да вектара , накіраванага ад зарада да паверхні.

Велічыня уяўляе сабой цялесны вугал , пад якім з пункта знаходжання зарада бачна паверхня dS. Таму, калі зарад знаходзіцца ўнутры паверхні, яго агульны паток праз замкнёную паверхню роўны

Калі ж поле ствараецца зарадам, які знаходзіцца па-за паверхняй, то яго паток праз паверхню роўны да нуля, таму што любая прамая, якая праходзіць праз гэты зарад, перасякае паверхню цотную колькасць разоў: адзін раз заходзячы ў яе і іншы раз – выходзячы.

Улічваючы гэта, а таксама прынцып суперпазіцыі электрычных палёў, агульны паток праз замкнёную паверхню можна знайсці як суму патокаў кожнага з зарадаў, што стварае поле. Пры гэтым можна ўлічваць толькі тыя зарады, што знаходзяцца ўнутры. Адсюль атрымаем:

Тэарэма Астраградскага-Гауса з'яўляецца вынікам закона Кулона. Яна ўжывальная і да іншых палёў, напружанасць якіх вызначаецца законам, падобным да кулонаўскага. Так, яе можна ўжыць у дачыненні да гравітацыйнага поля, прычым ролю напружанасці будзе выконваць паскарэнне вольнага падзення, а замест зарада будзе фігураваць маса («гравітацыйны зарад»):

дзе G – гравітацыйная пастаянная.