Тэарэма Менелая

З пляцоўкі Вікіпедыя.
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма Менелая - гэта класычная тэарэма афіннай геаметрыі.

Калі пункты A',B' і C' ляжаць адпаведна на прамых BC,CA і AB трохкутніка \triangle ABC, то яны калінэарныя, тады і толькі тады калі

\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.

Тут \frac{AB'}{B'C}, \frac{CA'}{A'B} і \frac{BC'}{C'A} азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

\frac{|AB'|}{|B'C|}\cdot\frac{|CA'|}{|A'B|}\cdot\frac{|BC'|}{|C'A|}=1.

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Падобны вынік у сферычнай геаметрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Менелая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналагічны вынік на плоскасці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Мэнэлая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ[правіць | правіць зыходнік]

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэньня гэтай прамой з прамой A'C' . Трохкутнікі \triangle AC'B' і \triangle CKB' падобныя (па двум вуглам), таму

{|AC'| \over |CK|} = {|B'A| \over |B'C|}

і, значыць -

|CK| = {|AC'| \cdot |B'C| \over |B'A|}.

З другога боку, падобнымі з'яўляюцца таксама і трохкутнікі \triangle BC'A' і \triangle CKA', таму

{|C'B| \over |CK|} = {|BA'| \over |A'C|}

і, такім чынам -

|CK| = {|C'B| \cdot |A'C| \over |BA|'}.

Але ў такім выпадку

{|AC'|\cdot |B'C| \over |B'A|} = {|C'B| \cdot |A'C| \over |BA'|}

або

{|AC'| \over |C'B|} \cdot {|BA'| \over |A'C|} \cdot {|CB'| \over |B'A|} = 1.

Магчымыя два размяшчэнні пунктаў A',B' і C', альбо два з іх ляжаць на адпаведных баках трохкутніка і адзін на падаўжэнні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэннях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем

\frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=-1.