Тэарэма Менелая

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма Менелая - гэта класычная тэарэма афіннай геаметрыі.

Калі пункты і ляжаць адпаведна на прамых і трохкутніка , то яны калінэарныя, тады і толькі тады калі

Тут , і азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Падобны вынік у сферычнай геаметрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Менелая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналагічны вынік на плоскасці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Мэнэлая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ[правіць | правіць зыходнік]

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэньня гэтай прамой з прамой A'C' . Трохкутнікі і падобныя (па двум вуглам), таму

і, значыць -

.

З другога боку, падобнымі з'яўляюцца таксама і трохкутнікі і , таму

і, такім чынам -

.

Але ў такім выпадку

або

.

Магчымыя два размяшчэнні пунктаў і , альбо два з іх ляжаць на адпаведных баках трохкутніка і адзін на падаўжэнні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэннях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем