Тэарэма Менелая

З Вікіпедыі, свабоднай энцыклапедыі

Тэарэма Менелая — гэта класічная тэарэма афіннай геаметрыі.

Калі пункты і ляжаць адпаведна на прамых і трохвугольніка , то яны калінеарныя, тады і толькі тады калі

Тут , і азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

Гісторыя[правіць | правіць зыходнік]

Падобны вынік у сферычнай геаметрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Менелая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналагічны вынік на плоскасці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Менелая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ[правіць | правіць зыходнік]

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэння гэтай прамой з прамой A'C' . Трохвугольнікі і падобныя (па двум вуглам), таму

і, значыць —

.

З другога боку, падобнымі з’яўляюцца таксама і тровугольнікі і , таму

і, такім чынам —

.

Але ў такім выпадку

або

.

Магчымыя два размяшчэнні пунктаў і , альбо два з іх ляжаць на адпаведных баках трохвугольніка і адзін на падаўжэнні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэннях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем