Тэарэма Пойнтынга

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма Пойнтынга (англ.: Poynting's theorem) — тэарэма, якая апісвае закон захавання энергіі электрамагнітнага поля. Тэарэма была даказаная ў 1884 Джонам Генры Пойнтынгам. Усё зводзіцца да наступнай формулы:

,

Дзе Sвектар Пойнтынга, Jшчыльнасць току і Eэлектрычнае поле. Шчыльнасць энергіі (электрычная пастаянная, магнітная пастаянная).

Тэарэма Пойнтынга ў інтэгральнай форме:

,

дзе — паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём .

У тэхнічнай літаратуры тэарэма звычайна запісваецца так ( — шчыльнасці энергіі):

,

дзе — шчыльнасць энергіі электрычнага поля, — шчыльнасць энергіі магнітнага поля і магутнасць джоўлявых страт ў адзінцы аб'ёму.

Вывад[правіць | правіць зыходнік]

Тэарэма можа быць выведзена з дапамогай двух ураўненняў Максвела (для прастаты лічым, што асяроддзе - вакуум (μ = 1, ε = 1); для агульнага выпадку з адвольным асяроддзем, трэба ў формулы да кожнага ε0 і μ0 прыпісаць ε і μ):

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на , атрымаем:

Разгледзім спачатку ураўненне Максвела-Ампера:

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на , атрымаем:

Адымаючы першае з другога, атрымаем:

Нарэшце:

Паколькі вектар Пойнтынга вызначаецца як:

гэта раўнасільна:

Абагульненне[правіць | правіць зыходнік]

Механічная энергія апісанай вышэй тэарэмы

дзе кінетычная энергія шчыльнасці ў сістэме. Яна можа быць апісана як сума кінетычнай энергіі часціц

— паток энергіі, або «механічны вектар Пойнтынга»:

Ураўненне бесперапыннасці энергіі або закон захавання энергіі

Альтэрнатыўныя формы[правіць | правіць зыходнік]

Можна атрымаць і іншыя формы тэарэмы Пойнтынга. Замест таго, каб выкарыстоўваць вектар патоку , можна выбраць форму Абрагама , форму Мінкоўскага , або якую-небудзь іншую.