Тэарэма Эйлера, тэорыя лікаў

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Тэарэма Эйлера ў тэорыі лікаў абвяшчае:


Калі і узаемна простыя, то , дзе функцыя Эйлера.


Частковым выпадкам тэарэмы Эйлера з'яўляецца малая тэарэма Ферма (пры простым m). У сваю чаргу, тэарэма Эйлера з'яўляецца следствам тэарэмы Лагранжа.

Доказы[правіць | правіць зыходнік]

З дапамогай тэорыі лікаў[правіць | правіць зыходнік]

Хай — усе розныя натуральныя лікі, меншыя і ўзаемна простыя з ім.

Разгледзім усе магчымыя здабыткі для ўсіх ад да

Паколькі ўзаемна просты з і ўзаемна просты з , то і таксама ўзаемна просты з , г. зн. для некаторага .

Адзначым, што ўсе астачы пры дзяленні на розныя. Сапраўды, хай гэта не так, то існуюць такія , што

або

Так як ўзаемна просты з , то апошняе роўнасць раўнасільная таму , што

или .

Гэта супярэчыць таму, што лікі парамі розныя па модулю .

Перамножым ўсе параўнанні выгляду . Атрымаем:

або

.

Паколькі лік ўзаемна просты з , то апошняе параўнанне раўнасільнае таму, што

или

З дапамогай тэорыі груп[правіць | правіць зыходнік]

Разгледзім мультыплікатыўную групу абаротных элементаў колцы вылікаў . Яе парадак роўны паводле вызначэння функцыі Эйлера. Паколькі лік ўзаемна просты з , элемент у , які адпавядае яму, з'яўляецца абаротным і належыць . Элемент спараджае цыклічную падгрупу, парадак якой, згодна з тэарэме Лагранжа, дзеліць , адсюль . ■

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]