Тэорыя Галуа

З пляцоўкі Вікіпедыя
Перайсці да: рух, знайсці

Тэорыя Галуа — раздзел алгебры, які дазваляе перафармуляваць пэўныя пытанні тэорыі палёў на мове тэорыі груп, робячы іх у пэўным сэнсе больш простымі. Эварыст Галуа сфармуляваў асноўныя сцвярджэнні гэтай тэорыі ў тэрмінах перастановак каранёў зададзенага мнагачленарацыянальнымі каэфіцыентамі); ён быў першым, хто выкарыстаў тэрмін «група» для апісання мноства перастановак, якое замкнута адносна кампазіцыі і змяшчае тоесную перастаноўку. Больш сучасны падыход да тэорыі Галуа заключаецца ў вывучэнні аўтамарфізмаў пашырэння адвольнага поля пры дапамозе групы Галуа, якая адпавядае гэтаму пашырэнню.

Прыкладанне да класічных задач[правіць | правіць зыходнік]

Тэорыя Галуа дае адзіны элегантны падыход да рашэння такіх класічных задач як

  1. Якія фігуры можна пабудаваць цыркулем і лінейкай?
  2. Якія алгебраічныя ўраўненні вырашальныя з дапамогай стандартных алгебраічных аперацый (складанне, адніманне, множанне, дзяленне і здабыванне кораня)?

Сіметрыі каранёў[правіць | правіць зыходнік]

Сіметрыі каранёў — такія перастаноўкі на мностве каранёў мнагачлена, для якіх любому алгебраічнаму ўраўненню з рацыянальнымі каэфіцыентамі (з некалькімі зменнымі), якому задавальняюць карані, задавальняюць і перастаўленныя карані.

Прыклад: квадратнае ўраўненне[правіць | правіць зыходнік]

У мнагачлена другой ступені a x² + b x + c ёсць два карані x1 і x2, сіметрычныя адносна кропкі x=-b/2a. Магчымыя два варыянты:

  • Калі гэтыя карані рацыянальныя, то ўраўненню x-x1=0 адпавядае толькі адзін корань, і група ўраўнення трывіяльная.
  • Калі карані ірацыянальныя, то група змяшчае адзін нетрывіяльны элемент x1x2, і ізаморфная .

Больш складаны прыклад[правіць | правіць зыходнік]

Разгледзім цяпер мнагачлен (x²−5)²−24.

Яго карані: .

Існуе 4! = 24 розныя перастаноўкі каранёў гэтага ўраўнення, але не ўсе яны з'яўляюцца сіметрыямі. Элементы групы Галуа павінны захоўваць любыя алгебраічныя ўраўненні з рацыянальнымі каэфіцыентамі.

Адно з такіх ураўненняў — a+d=0. Паколькі a+c≠0, перастаноўка aa, bb, cd, dc не ўваходзіць у групу Галуа.

Акрамя таго, можна заўважыць, што (a+b)²=8, але (a+c)²=12. Таму перастаноўка aa, bc, cb, dd не ўваходзіць у групу.

Канчаткова можна атрымаць, што група Галуа мнагачлена складаецца з чатырох перастановак:

(a, b, c, d) → (a, b, c, d)
(a, b, c, d) → (c, d, a, b)
(a, b, c, d) → (b, a, d, c)
(a, b, c, d) → (d, c, b, a)

і з'яўляецца чацвярной групай Клейна, ізаморфнай .

Фармулёўка ў тэрмінах тэорыі палёў[правіць | правіць зыходнік]

Тэорыя палёў дае больш агульнае вызначэнне групы Галуа як групы аўтамарфізмаў адвольнага пашырэння Галуа. Сярод іншага, на гэтай мове можна сфармуляваць усе сцвярджэнні адносна «сіметрыі» каранёў мнагачлена. А іменна, няхай каэфіцыенты дадзенага мнагачлена належаць полю K. Разгледзім алгебраічнае пашырэнне L поля K каранямі мнагачлена. Тады група Галуа мнагачлена — гэта група аўтамарфізмаў поля L, якія пакідаюць элементы поля K на месцы, г.зн. група Галуа пашырэння . Напрыклад, у папярэднім прыкладзе была разгледжана група Галуа пашырэння .

Яшчэ больш абстрактны падыход да тэорыі Галуа быў распрацаваны Аляксандрам Гротэндзікам у 1960 годзе. Гэты падыход дазваляе прымяніць асноўныя вынікі тэорыі Галуа да любой катэгорыі, якая валодае зададзенымі ўласцівасцямі (напрыклад, існаваннем каздабыткаў і дэкартавых квадратаў). У прыватнасці, гэта дазваляе перанесці вынікі тэорыі Галуа ў тэорыю накрыццяў. Для таго, каб прымяніць гэтую тэорыю да катэгорыі пашырэнняў палёў, патрабуецца вывучэнне ўласцівасцей тэнзарных здабыткаў палёў[en].

Вырашальныя групы і рашэнне ўраўненняў у радыкалах[правіць | правіць зыходнік]

Рашэнні полінаміяльнага ўраўнення P(x)=0 выражаюцца ў радыкалах тады і толькі тады, калі група Галуа дадзенага ўраўнення вырашальная.

Для любога n існуе ўраўненне n-й ступені, група Галуа якога ізаморфная сіметрычнай групе Sn, г.зн. складаецца з усіх магчымых перастановак. Паколькі групы Sn пры n> 4 не з'яўляюцца вырашальнымі, існуюць мнагачлены ступені n, карані якіх нельга прадставіць пры дапамозе радыкалаў — тэарэма Абеля-Руфіні.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]

  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.