Удзельнік:Alexpres/Ураўненні Гамільтана

З пляцоўкі Вікіпедыя
Jump to navigation Jump to search

"'Ўраўненні Гамільтана"' у фізыцы і матэматыцы — сістэма дыферэнцыяльных раўнанняў:

дзе кропкай над "p" і "q" пазначаная вытворная па часе. Сістэма складаецца з 2"N" дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку ("j" = 1, 2, ..., N) для дынамічнай сістэмы, апісванай "N" (абагульненымі) каардынатамі, якія з'яўляюцца раўнаннямі руху (адной з формаў такіх раўнанняў, нароўні з раўнаннямі Лагранжа, якая з'яўляецца абагульненнем ньютоновскіх раўнанняў руху) сістэмы, дзе — так званая "функцыя Гамільтана", таксама часам названая гамильтонианом, — час[1], — (абагульненыя) каардынаты , — абагульненыя імпульсы , якія вызначаюць стан сістэмы (пункт фазавага прасторы).

Ўраўненні Гамільтана шырока выкарыстоўваюцца ў Гамільтанавай механіцы і іншых галінах тэарэтычнай фізікі і матэматыкі.

Ньютонавскі фізічны сэнс[правіць | правіць зыходнік]

Найбольш простая інтэрпрэтацыя гэтых раўнанняў заключаецца ў наступным. прадстаўляе ў найбольш простых выпадках энергію фізічнай сістэмы, якая ёсць сума кінетычнай і патэнцыйнай энергій, традыцыйна обозначаемых T і V адпаведна:

У прыватным выпадку, калі "q = X" — дэкартавымі каардынаты кожнай матэрыяльнай кропкі сістэмы, запісаныя запар па тры , гэта значыць

то кананічныя ўраўненні Гамільтана супадаюць, улічваючы папярэдні абзац, з раўнаннямі руху Ньютана ў выглядзе:

дзе , прычым кожнае подпространство дае радыус-вектар адпаведнай матэрыяльнай кропкі:

а абагульненыя імпульсы — адпаведныя кампаненты трохмерных імпульсаў гэтай кропкі:

Фундаментальная інтэрпрытацыя[правіць | правіць зыходнік]

Функцыя Гамільтана па сутнасці ўяўляе сабой лакальны закон дысперсіі, які выказвае квантавую частату (частату ваганняў хвалевай функцыі) праз хвалевай вектар для кожнай кропкі прасторы[2]:

У класічным набліжэнні (пры вялікіх[3] частотах і модуль хвалевага вектара і параўнальна павольнай залежнасці ад ) гэты закон досыць відавочна апісвае рух хвалевага пакета праз кананічныя ўраўненні Гамільтана, адны з якіх () інтэрпрэтуюцца як формула групавы хуткасці, атрыманая з закона дысперсіі, а іншыя () цалкам натуральна — як змяненне, у прыватнасці паварот, хвалевага вектара пры распаўсюджванні хвалі ў неаднароднай асяроддзі пэўнага тыпу.

Выснову раўнанняў Гамільтана[правіць | правіць зыходнік]

Выснова з прынцыпу стацыянарнага дзеяння[правіць | правіць зыходнік]

З прынцыпу найменшага (стацыянарнага) дзеяння ўраўненні гамільтана непасрэдна атрымліваюцца вар'іраваннем дзеянні

,

незалежна па і .

Вывад з лагранжавай механікі[правіць | правіць зыходнік]

Мы можам вывесці ўраўненні Гамільтана выкарыстоўваючы інфармацыю аб змене лагранжіана пры змене часу, каардынат і імпульсаў часціц.

абагульненыя імпульсы вызначаюцца як , і ўраўненні Лагранжа абвяшчаюць:

дзе — непотенциальная абагульненая сіла. Апошні выраз пераўтвараецца да выгляду і вынік падстаўляецца ў варыяцыю лагранжиана

Можна запісаць:

і пераўтворыцца да форме:

Множнік у левай частцы проста гамильтониан, які быў вызначаны раней. Такім чынам:

дзе другое роўнасць выконваецца ў сілу вызначэння прыватнай вытворнай.

Абагульненне з дапамогай дужак Пуасона[правіць | правіць зыходнік]

Ўраўненні могуць быць запісаныя ў больш агульным выглядзе, калі выкарыстоўваць алгебру Пуасона над утваральнымі p і q. У гэтым выпадку, больш агульная форма раўнанняў Гамільтана абвяшчае

,

дзе — гэта некаторая функцыя зменных , і , . З дужкамі Пуасона можна працаваць без звароту да дыферэнцыяльным раўнаннях, паколькі дужкі Пуасона цалкам аналагічныя дужкі Лі у алгебры Пуасона.

Гэты алгебраічны падыход дазваляе выкарыстоўваць размеркаванне верагоднасцяў для і , ён таксама дазваляе знайсці захоўваюцца велічыні (інтэгралы руху).

Ўраўненні Гамільтана з'яўляюцца аднымі з асноўных раўнанняў класічнай механікі.

Гл. таксама[правіць | правіць зыходнік]

Заўвагі[правіць | правіць зыходнік]

  1. Ад часу функцыя Гамільтана, наогул кажучы, можа залежаць відавочна, хоць у многіх фундаментальных выпадках такі залежнасці як раз няма.
  2. Паколькі энергія і імпульс і ёсць частата і хвалевай вектар, адрозніваючыся ад іх толькі універсальным пастаянным множнікам, які можа быць абраны і адзінкавым у падыходнай сістэме адзінак.
  3. Паколькі ў сувязь энергіі і частоты, імпульсу і хвалевага вектара у звычайных сістэмах адзінак ўваходзіць канстанта Планка, якая ў гэтых звычайных сістэмах адзінак вельмі малая, тое звычайным для класічнай механікі энергія і імпульсам адпавядаюць вельмі вялікія (у соизмерении з звычайнымі для класічнай механікі прасторавымі і часавымі маштабамі) частоты і хвалевыя вектары.

Літаратура[правіць | правіць зыходнік]