Умоўнае матэматычнае спадзяванне

Умоўнае матэматычнае спадзяванне — матэматычнае спадзяванне выпадковай велічыні, вылічанае адносна ўмоўнага размеркавання імавернасцей.

Азначэнне

Адносна падзеі

Умоўным матэматычным спадзяваннем велічыні $X$ адносна падзеі $A$ завецца інтэграл

\mathbb {E} [X|A]=\int _{\mathbb {R} }xdF_{X}(x|A),

дзе $F_{X}(x|A)$ — умоўная функцыя размеркавання^[1].

Калі выпадковая велічыня $X:\Omega \to \mathbb {R}$ зададзена на імавернаснай прасторы $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ , то ўмоўнае матэматычнае спадзяванне можна запісаць як^[2]

\mathbb {E} [X|A]={\frac {1}{P(A)}}\int _{A}X(\omega )dP(\omega ).

Прыклады

Падкіданне кубіка

Разгледзім падкіданне кубіка і няхай велічыня $A=1$ , калі выпаў цотны лік (то бок 2, 4 ці 6), інакш $A=0$ . Акрамя таго, няхай $B=1,$ калі выпаў лік просты (2, 3 ці 5), інакш $B=0.$

	1	2	3	4	5	6
$A$	0	1	0	1	0	1
$B$	0	1	1	0	1	0

Матэматычнае спадзяванне $A$ роўнае $E[A]=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2$ , але ўмоўнае спадзяванне $A$ пры $B=1$ (то бок пры ўмове, што значэнне на кубіку простае) складае $E[A\mid B=1]=(1+0+0)/3=1/3$ , а спадзяванне $A$ пры ўмове $B=0$ (лік складаны) роўнае $E[A\mid B=0]=(0+1+1)/3=2/3$ . Гэтак жа спадзяванне $B$ пры ўмове $A=1$ роўнае $E[B\mid A=1]=(1+0+0)/3=1/3$ , а спадзяванне $B$ пры ўмове $A=0$ — $E[B\mid A=0]=(0+1+1)/3=2/3$ .